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第78页

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$\frac{3}{7}$

0.57

0.81

①②

解：设正方形$ABCD$的边长为$4a。$

∵$BE = 3AE，$

∴$AE = a，$$BE = 3a。$

∵四边形$ABCD$是正方形，

∴$∠A=∠B=∠D = 90°。$

在$Rt\triangle BCE$中，$BE = 3a，$$BC = 4a，$

由勾股定理，得$EC=\sqrt {BE^2+BC^2}=5a。$

∵$M$是$AD$的中点，

∴$AM=MD=\frac {1}{2}AD = 2a。$

在$Rt\triangle AEM$中，由勾股定理，得

$EM=\sqrt {AE^2+AM^2}=\sqrt {5}a；$

在$Rt\triangle CDM$中，由勾股定理，得

$MC=\sqrt {MD^2+CD^2}=2\sqrt {5}a。$

∵$EM^2+MC^2=(\sqrt {5}a)^2+(2\sqrt {5}a)^2=5a^2+20a^2=25a^2=EC^2，$

∴$∠EMC = 90°。$

在$Rt\triangle CEM$中，$\tan ∠ECM=\frac {EM}{MC}=\frac {\sqrt {5}a}{2\sqrt {5}a}=\frac {1}{2}，$

$\sin ∠ECM=\frac {EM}{EC}=\frac {\sqrt {5}a}{5a}=\frac {\sqrt {5}}{5}，$

$\cos ∠ECM=\frac {MC}{EC}=\frac {2\sqrt {5}a}{5a}=\frac {2\sqrt {5}}{5}$