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C
$\frac{5}{12}$
$\frac{5}{13}$
$\frac{4}{5}$或$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
解：​$(1)$​∵​$AD\perp BC，$​​$AB = 10，$​​$AD = 6，$​
由勾股定理，得​$BD=\sqrt {AB^2-AD^2}=\sqrt {10^2-6^2}=8。$​
在​$Rt\triangle ADC$​中，​$\tan ∠ACB=\frac {AD}{CD}=1，$
​∴​$CD = AD = 6。$​
∴​$BC=BD + CD=8 + 6=14。$​​
$(2)$​∵​$AE$​是边​$BC$​上的中线，
∴​$CE=\frac {1}{2}BC = 7。$
​∴​$DE=CE - CD=7 - 6=1。$​
∵​$AD\perp BC，$​
由勾股定理，得​$AE=\sqrt {AD^2+DE^2}=\sqrt {6^2+1^2}=\sqrt {37}。$​
在​$Rt\triangle ADE$​中，​$\sin ∠DAE=\frac {DE}{AE}=\frac {1}{\sqrt {37}}=\frac {\sqrt {37}}{37}$​
证明：​$ (1)$​∵​$BD$​为​$\odot O$​的切线，
∴​$AB\perp BD，$​
∴​$∠ABD = 90°。$​
在​$\triangle ABD$​中，​$∠ADB+∠BAD = 90°。$​
∵​$AB$​是​$\odot O$​的直径，
∴​$∠ACB = 90°。$​
在​$\triangle ACB$​中，​$∠ABC+∠BAD = 90°，$
​∴​$∠ADB=∠ABC。$​
∵​$\overset {\frown }{AC}=\overset {\frown }{AC}，$​
∴​$∠ABC=∠AEC，$​
∴​$∠ADB=∠AEC。$​​
$(2)$​∵​$∠ADB=∠AEC，$​​$\cos ∠AEC=\frac {\sqrt {5}}{3}，$​
∴​$\cos ∠ADB=\frac {\sqrt {5}}{3}。$​
在​$Rt\triangle ABD$​中，​$\cos ∠ADB=\frac {DB}{AD}，$
​设​$BD=\sqrt {5}x(x＞0)，$​则​$AD = 3x。$​
由勾股定理，​$AB^2+BD^2=AD^2，$​
∵​$AB = 4，$​
∴​$4^2+(\sqrt {5}x)^2=(3x)^2，$​解得​$x = 2($​负值舍去​$)，$
​∴​$BD=2\sqrt {5}。$​
在​$Rt\triangle OBD$​中，​$OB=\frac {1}{2}AB = 2，$​
∴​$OD=\sqrt {OB^2+BD^2}=\sqrt {2^2+(2\sqrt {5})^2}=2\sqrt {6}$​
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