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B
$30^\circ$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
30
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$2\sqrt{3}-2$
解：$\sin15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)=\sin45^\circ\cdot\cos30^\circ-\cos45^\circ\cdot\sin30^\circ$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}$
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
证明：​$ (1)$​连接​$OD。$​
∵​$BD$​是​$∠ABC$​的平分线，
∴​$∠OBD=∠CBD。$​
∵​$OD=OB，$​
∴​$∠ODB=∠OBD。$​
∴​$∠ODB=∠CBD，$
​∴​$OD// BC。$​
∵​$∠C=90^\circ ，$​
∴​$∠ADO=∠C=90^\circ ，$​
∴​$OD\perp AC。$​
∵​$OD$​是​$\odot O$​的半径，
∴直线​$AC$​是​$\odot O$​的切线。
​$ (2)$​设​$\odot O$​的半径为​$R，$​则​$OD=OE=OB=R。$​
∵​$E$​是​$AO$​的中点，
∴​$AO=2OE=2R。$​
​$ $​在​$\text{Rt}\triangle ADO$​中，​$\cos ∠AOD=\frac {OD}{AO}=\frac {R}{2R}=\frac {1}{2}，$​
∴​$∠AOD=60^\circ 。$​
∵​$OD^2+AD^2=AO^2，$​​$AD=3，$​
∴​$R^2+3^2=(2R)^2，$​解得​$R=\sqrt {3}($​负值舍去​$)。$​
∴​$S_{\triangle AOD}=\frac {1}{2}×AD×OD=\frac {1}{2}×3×\sqrt {3}=\frac {3\sqrt {3}}{2}，$​
​$ S_{\text{扇形}EOD}=\frac{60^\circ×\pi×(\sqrt{3})^2}{360^\circ}=\frac{\pi}{2}。$​
∴涂色部分的面积为​$S_{\triangle AOD}-S_{\text{扇形}EOD}=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{2}=\frac{3\sqrt{3}-\pi}{2}。$​
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