解：$(2) $如图$①，$连接$ OP ，$过点$ P $作$ PD \perp OC $于点$ D ，$盛水筒$ P $浮出水
面$ 3.4\ \mathrm {s} $时，$ ∠AOP = 3.4 × 5° = 17° ，$
∴$∠POC = ∠AOC + ∠AOP = 43° + 17° = 60° 。$
在$ Rt\triangle POD $中，$ OD = OP · \mathrm {cos}60° = 3 × \frac {1}{2} = 1.5(\mathrm {m}) ，$
∴$ $浮出水面$ 3.4\ \mathrm {s} $时，盛水筒$ P $距离水面$ 2.2 - 1.5 = 0.7(\mathrm {m}) 。$
$(3) $如图$②，$延长$ CO $交$ \odot O $于点$ H 。$
∵$ $点$ P $在$ \odot O $上，且$ MN $与$ \odot O $相切，
∴$ $当点$ P $在直线$ MN $上时，$ P $是切点。
延长$ MN $与$ \odot O $交于点$ P ，$连接$ OP ，$则$ OP \perp MN 。$
∵$ $在$ Rt\triangle OPM $中，$ \cos ∠POM = \frac {OP}{OM} = \frac {3}{8} ，$
∴$∠POM ≈68° 。$
∵$ $在$ Rt\triangle COM $中，$ \cos ∠COM = \frac {OC}{OM} = \frac {2.2}{8} = \frac {11}{40} ，$
∴$∠COM ≈74° 。$
∴$∠POH = 180° - ∠POM - ∠COM = 180° - 68° - 74° = 38° 。$
∴$ $需要的时间为$ \frac {38°}{5°} = 7.6(\mathrm {s}) 。$
∴$ $盛水筒$ P $从最高点开始，至少经过$ 7.6\ \mathrm {s} $恰好在直线$ MN $上。
