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第46页

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解：四边形ABCD是平行四边形

理由如下：

∵∠BAC=∠ACD

∴AB//CD

∵∠BCA=∠DAC

∴AD// BC

∴四边形ABCD是平行四边形

证明：连接BE，DF

∵四边形ABCD为平行四边形

∴AD=BC，AD// BC

∵AE=CF

∴DE=BF

∵DE // BF

∴四边形BEDF 是平行四边形

∴EF 与BD互相平分

证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形，

∴$AB//CD，$$AD//BC，$$AB = CD，$$AD = BC.$

∵点$E，$$F，$$G，$$H$分别是$▱ABCD$各边的中点，

∴$AE=\frac {1}{2}AB=\frac {1}{2}CD = CG，$$AE//CG，$

∴四边形$AECG $为平行四边形，

∴$AN//CM.$

同理可得，四边形$AFCH$为平行四边形，

∴$AM//CN，$

∴四边形$AMCN$是平行四边形$. $

证明：$ (1) $∵$ $四边形$ A B C D $是平行四边形$，$

∴$A B=C D，$$ A B / / C D，$

∴$∠A B E=∠C D F，$

∵$A M=C N，$

∴$A M+A B=C N+C D，$

即$B M=D N ， $

在$ \triangle B E M $和$ \triangle D F N $中$，$

$\begin {cases}{B M=D N }\\{∠M B E=∠N D F}\\{B E=D F}\end {cases}$

$(2)$由$(1)$知：$ \triangle B E M \cong \triangle D F N ，$

∴$E M=F N，$$ ∠B E M=∠D F N，$

∴$180°-∠B E M=180°-∠D F N，$

∴$∠M E F=∠N F E，$

∴$M E / / F N，$

∵$E M=F N，$

∴$ $四边形$ M E N F $是平行四边形$.$