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证明：∵​$ $​四边形​$ ABCD $​是平行四边形，
∴​$ OA = OC，$​​$OB = OD。$​
∵​$ E，$​​$G $​分别是​$ OA，$​​$OC $​的中点，​$F，$​​$H $​分别是​$ OB，$​​$OD $​上靠近
点​$ O $​的三等分点，
∴​$ OE=\frac {1}{2}OA，$​​$OG=\frac {1}{2}OC，$​​$OF=\frac {1}{3}OB，$​​$OH=\frac {1}{3}OD，$​
∴​$ OE = OG，$​​$OF = OH，$​
∴​$ $​四边形​$ EFGH $​是平行四边形。
解：四边形​$BMDN$​是平行四边形
理由：∵四边形​$ABCD$​是平行四边形
∴​$AB//CD，$​​$AB=CD$​
∴​$∠BAM=∠DCN$​
∵​$BM⊥AC，$​​$DN⊥AC$​
∴​$∠AMB=∠CND= 90°$​
∴​$BM//DN$​
在​$△ABM$​和​$△CDN$​中
​$\begin {cases}{∠AMB=∠CND }\\{∠BAM=∠DCN} \\{AB=CD} \end {cases}$​
∴​$△ABM≌△CDN(\mathrm {AAS})$​
∴​$BM=DN$​
∵​$BM//DN$​
∴四边形​$BMDN$​是平行四边形
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