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证明：连结​$ BG 、$​​$ DH ，$​​$EF $​与​$GH$​相交于点​$O。$​
∵​$ $​四边形​$ ABCD $​为平行四边形，
∴​$AB = CD，$​​$AD = BC，$​​$AB// CD，$​​$AD// BC。$​
∴​$∠ ABE=∠ CDF。$​
∵​$AE⊥ BD，$​​$CF⊥ BD，$​
∴​$∠ AEB=∠ CFD = 90°。$​
在​$ △ ABE $​和​$ △ CDF $​中，
​$\begin {cases}∠ AEB=∠ CFD\\∠ ABE=∠ CDF\\AB = CD\end {cases}，$​
∴​$△ ABE≌△ CDF。$​
∴​$BE = DF。$​
∵​$G、$​​$H $​分别为​$ AD 、$​​$ BC $​的中点，
∴​$BH=\frac {1}{2}BC，$​​$GD=\frac {1}{2}AD。$​
∵​$AD = BC，$​​$AD// BC，$​
∴​$BH = GD，$​​$BH// GD。$​
∴​$ $​四边形​$ BHDG $​为平行四边形。
∴​$OB = OD，$​​$OG = OH。$​
∴​$OB - BE = OD - DF，$​即​$ OE = OF。$​
∴​$EF $​与​$ GH $​互相平分。

证明：​$(1)①$​∵四边形​$ ABCD $​是平行四边形，
∴​$OA = OC，$​​$OB = OD。$​
∵​$DE = \frac {1}{2}OD，$​​$BF = \frac {1}{2}OB，$​
∴​$DE = BF。$​
∴​$OE = OF。$​
∴四边形​$ AFCE $​为平行四边形。
②∵四边形​$ ABCD $​是平行四边形，
∴​$AD//BC。$​
∴​$∠DAC = ∠BCA。$​
∵​$CA $​平分​$∠BCD，$​
∴​$∠BCA = ∠DCA。$​
∴​$∠DCA = ∠DAC。$​
∴​$AD = CD。$​
∵​$OA = OC，$​
∴​$OE⊥AC。$​
∴​$OE $​是​$ AC $​的垂直平分线。
∴​$AE = CE。$​
∵​$∠AEC = 60°，$​
∴​$△ACE $​是等边三角形。
∴​$AE = CE = AC = 2OA = 10\ \mathrm {cm}。$​
由​$(1)$​可知，四边形​$ AFCE $​为平行四边形，
∴​$C_{四边形 AFCE}=2(AE + CE)=2×(10 + 10)=40(\mathrm {cm})。$​
​$(2)$​若​$ DE = \frac {1}{3}OD，$​​$BF = \frac {1}{3}OB，$​四边形​$ AFCE $​是平行四边形。
理由：
∵​$DE = \frac {1}{3}OD，$​​$BF = \frac {1}{3}OB，$​​$OD = OB，$​
∴​$DE = BF。$​
∴​$OB + BF = OD + DE，$​即​$ OF = OE。$​
又∵​$OA = OC，$​
∴四边形​$ AFCE $​为平行四边形。
若​$ DE = \frac {1}{n}OD，$​​$BF = \frac {1}{n}OB，$​四边形​$ AFCE $​是平行四边形。
理由：
∵​$DE = \frac {1}{n}OD，$​​$BF = \frac {1}{n}OB，$​​$OD = OB，$​
∴​$DE = BF。$​
∴​$OB + BF = OD + DE，$​即​$ OF = OE。$​
又∵​$OA = OC，$
​∴四边形​$ AFCE $​为平行四边形。
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