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解：​$(1)$​原式​$=(\frac {10}{3}×\frac {3}{10})^{10}$​
​$=1^{10}$​
​$=1$​
解：​$(2)$​原式​$=(0.125×8)^{10}×8$​
​$=1×8$​
​$=8$​
乘方
所得的幂相乘
$a^3b^3$
4
$a^6b^3$
3
6
3
6
2
D
D
C
D
解：原式​$=2^3×a^3$​
​$=8a^3$​
解：原式​$=(\frac {1}{2})^4·a^4$​
​$=\frac {1}{16}a^4$​
解：原式​$=a^2b^{2×2}$​
​$=a^2b^4$​
解：​$3×{10}^2×3×{10}^2×3×{10}^2=2.7×{10}^7(\mathrm {mm}³)$​
【分析】
对于这两道幂的乘法计算题，我们可以利用积的乘方的逆运算来简化计算：
1. 第(1)题中，两个幂的指数相同，且底数互为倒数，逆用积的乘方公式$a^n×b^n=(a×b)^n$，将底数相乘后再进行乘方运算，能快速得到结果。
2. 第(2)题中，两个幂的指数不同，先把$8^{11}$拆分成$8^{10}×8$，使两个幂的指数变为相同的10，再逆用积的乘方公式，由于0.125和8相乘的结果为1，1的任何次幂都是1，最后乘以拆分出来的8即可得到结果。
【解析】
(1)
解：
$(\frac{10}{3})^{10} × (\frac{3}{10})^{10}$
$= (\frac{10}{3} × \frac{3}{10})^{10}$
$= 1^{10}$
$= 1$
(2)
解：
$0.125^{10} × 8^{11}$
$= 0.125^{10} × 8^{10} × 8$
$= (0.125 × 8)^{10} × 8$
$= 1^{10} × 8$
$= 8$
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
积的乘方逆运算、幂的运算性质
【点评】
本题主要考查积的乘方逆运算的应用，通过逆用公式将复杂的高次幂运算转化为简单的乘法和低次幂运算，避免了直接计算的繁琐，需要熟练掌握积的乘方的运算性质及其逆用方法。
【难度系数】
0.8
(1) 积的乘方运算性质：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
(2) 根据积的乘方性质，$(ab)^3 = a^3b^3$；
(3) 因为$(ab)^n = a^nb^n$，所以$n = 4$时，$(ab)^4 = a^4b^4$；
(4) $(a^2b)^3 = (a^2)^3b^3 = a^{2×3}b^3 = a^6b^3$；
(5) 左边$(ab^2)^n = a^nb^{2n}$，右边$a^3b^m$，所以$n = 3$，$2n = 6$，即$m = 6$；
(6) $[a^nb^2]^3 = a^{3n}b^6 = a^9b^6$，所以$3n = 9$，$n = 3$；
(7) 左边$[a^nb^3]^2 = a^{2n}b^6$，右边$[a^4b^m]^3 = a^{12}b^{3m}$，则$2n = 12$，$n = 6$；$3m = 6$，$m = 2$。
(1) 根据积的乘方公式 $(ab)^n = a^n b^n$，可得 $(xy^{3})^{4} = x^{4} (y^{3})^{4} = x^{4} y^{12}$。
(2) 根据积的乘方公式及负数奇次幂的性质，$(-xy^{2})^{3} = (-1)^3 x^3 (y^{2})^{3} = -x^{3} y^{6}$。
(3) 根据积的乘方公式及负数偶次幂的性质，$(-xy^{3})^{2} = (-1)^2 x^2 (y^{3})^{2} = x^{2} y^{6}$。
(4) 逐项分析：
A. $x^{2}·x = x^{3} ≠ x^{2}$，错误；
B. $(xy)^{2} = x^{2}y^{2} ≠ xy^{2}$，错误；
C. $(x^{2})^{3} = x^{6} ≠ x^{5}$，错误；
D. $(-xy)^{2} = x^{2}y^{2}$，正确。
【分析】
这几道题均考查积的乘方相关运算，解题核心是运用积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数）。同时要注意符号处理：负数的偶次幂为正，奇次幂为负；还要区分括号外的负号与因式本身的负号。解题时，先将积中的每个因式（系数、字母及其指数）分别乘方，再结合有理数乘方和幂的乘方法则（$(a^m)^n=a^{mn}$）计算，最后将结果相乘。
【解析】
(1) 根据积的乘方法则，将$2$和$a$分别乘方：
$(2a)^{3}=2^{3} · a^{3} = 8a^{3}$
(2) 同理，将$\frac{1}{2}$和$a$分别乘方：
$(\frac{1}{ 2}a)^{4}=(\frac{1}{2})^{4} · a^{4}=\frac{1}{16}a^{4}$
(3) 将$-1$、$a$、$b^2$分别乘方，其中$(b^2)^2$运用幂的乘方法则计算：
$(-ab^{2})^{2}=(-1)^{2} · a^{2} · (b^{2})^{2}=1·a^2·b^{4}=a^{2}b^{4}$
(4) 将$-2$、$a$、$b^2$分别乘方：
$(-2ab^{2})^{2}=(-2)^{2} · a^{2} · (b^{2})^{2}=4·a^2·b^{4}=4a^{2}b^{4}$
(5) 将$-\frac{1}{3}$、$a^2$、$b$分别乘方，$(a^2)^3$运用幂的乘方法则计算：
$(-\frac{1}{3}a^{2}b)^{3}=(-\frac{1}{3})^{3} · (a^{2})^{3} · b^{3}=-\frac{1}{27}·a^{6}·b^3=-\frac{1}{27}a^{6}b^{3}$
(6) 先计算括号内的积的乘方，再处理括号外的负号：
$-(-3×10^{3})^{2}=-[(-3)^{2}×(10^{3})^{2}]=-(9×10^{6})=-9×10^{6}$
【答案】
(1) $8a^{3}$；
(2) $\frac{1}{16}a^{4}$；
(3) $a^{2}b^{4}$；
(4) $4a^{2}b^{4}$；
(5) $-\frac{1}{27}a^{6}b^{3}$；
(6) $-9×10^{6}$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，有理数乘方
【点评】
本题是积的乘方运算的基础题型，重点考查对积的乘方法则的掌握与应用，解题时需注意符号的判断以及幂的乘方中指数的运算，区分括号外负号与因式负号的不同影响，通过练习可巩固幂的运算基础。
【难度系数】
0.8
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