第26页

信息发布者：
$p^2+2p+1$
$m^2-4m+4$
$a^2+2ab+b^2$
解：方法一：$(-2x + y)^2=(y - 2x)^2=y^2-2\cdot y\cdot2x+(2x)^2=y^2-4xy+4x^2；$方法二：$(-2x + y)^2=(-2x)^2+2\cdot(-2x)\cdot y + y^2=4x^2-4xy + y^2$
$x^2-2xy + y^2$
$2a$
$2a$
$1$
$1$
$4a^2-4a + 1$
$2$
$4$
$5x-3y$
B
解：原式​$=a²+a+\frac 14$​
解：原式= $49y^2-28xy + 4x^2$
解：原式= $\frac{1}{4}x^2y^2-xy + 1$
解：原式= $9a^2+6a + 1$
解：原式​$$=4a²+4ab+b²-b² =4a²+4ab$$​
解：原式= $b^2-8ab$
根据完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，这里$a = p$，$b = 1$，代入可得：
$(p + 1)^2=p^2 + 2p + 1$，
也可以按照多项式乘法法则展开$(p + 1)(p + 1)$，即$(p + 1)(p + 1)=p× p+p×1 + 1× p+1×1=p^2 + 2p + 1$。
根据完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，其中$a = m$，$b = 2$，则$(m - 2)^2 = m^2 - 2 × m × 2 + 2^2 = m^2 - 4m + 4$
根据完全平方公式，$(a + b)^2$可以展开为$a^2 + 2ab + b^2$，其中$a$和$b$分别平方后，再加上两倍的$a$和$b$的乘积。
【分析】
要计算$(-2x + y)^2$，我们可以围绕完全平方公式展开思考：
1. 方法一思路：直接将$-2x$看作完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$中的$a$，$y$看作$b$，直接代入公式展开运算。
2. 方法二思路：利用加法交换律先把原式变形为$(y - 2x)^2$，再将$y$看作完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$中的$a$，$2x$看作$b$，代入公式计算，两种方法最终结果等价。
【解析】
方法一：直接应用完全平方公式
$(-2x + y)^2 = (-2x)^2 + 2 · (-2x) · y + y^2 = 4x^2 - 4xy + y^2$
方法二：变形后应用完全平方公式
$(-2x + y)^2 = (y - 2x)^2 = y^2 - 2 · y · 2x + (2x)^2 = y^2 - 4xy + 4x^2$
两种方法化简后结果一致，均为$4x^2 - 4xy + y^2$
【答案】
$4x^2 - 4xy + y^2$
【知识点】
完全平方公式、加法交换律
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，通过两种不同计算方法，帮助学生掌握完全平方公式的两种形式，同时体会代数式变形的技巧，加深对整式乘法公式的理解，是夯实基础的典型题型。
【难度系数】
0.8
(1) 根据完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，可得$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$。
(2) 对于$(2a - 1)^2$，应用完全平方公式，第一个空为$2a$，第二个空为$2a$，第三个空为$1$，第四个空为$1$，计算得$(2a)^2 - 2·2a·1 + 1^2 = 4a^2 - 4a + 1$。
(3) 设括号内为$m$，则$(x + my)^2 = x^2 + 2mxy + m^2y^2$，对比$x^2 + 4xy + ny^2$，可得$2m = 4$，$m = 2$，$n = m^2 = 4$。
(4) 因为$25x^2 = (5x)^2$，$9y^2 = (3y)^2$，中间项$-30xy = -2·5x·3y$，所以原式为$(5x - 3y)^2$。
完全平方公式是$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$，能用完全平方公式计算的多项式需是某个二项式的平方的形式，即两个因式相同，
A选项：$(a+2)(2-a)=2^2 - a^2$，符合平方差公式，不符合完全平方公式；
B选项：$(-a+b)(a-b)=-(a-b)(a-b)=-(a-b)^2$，两个因式相同，符合完全平方公式；
（或把$-a+b$变形为$-(a-b)$，那么原式就等于$\lbrack - (a - b)\rbrack(a - b)= - (a - b)^2$，也符合完全平方公式的变形形式）
C选项：$(a + 1)(a + 2)$，两个因式不相同，不能用完全平方公式计算；
D选项：$(-a - b)(a - b)=-(a + b)(a - b)$，符合平方差公式，不符合完全平方公式；
所以能用完全平方公式计算的是B选项。
【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，首先要牢记完全平方公式的两种形式：$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$和$(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$。对于每个小题，我们需要先确定公式中的$m$和$n$：
1. 对于$(a+\dfrac{1}{2})^2$，直接对应$(m+n)^2$的形式，找到$m=a$，$n=\dfrac{1}{2}$，代入公式展开即可；
2. 对于$(7y - 2x)^2$，对应$(m-n)^2$的形式，确定$m=7y$，$n=2x$，代入公式计算；
3. 对于$(-1+\dfrac{1}{2}xy)^2$，可以把$-1$看作$m$，$\dfrac{1}{2}xy$看作$n$，对应$(m+n)^2$的形式，注意负数的平方是正数；
4. 对于$(-3a - 1)^2$，可以把$-3a$看作$m$，$-1$看作$n$，对应$(m+n)^2$的形式，计算时要注意中间项的符号和系数。
【解析】
(1) 根据完全平方公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，在$(a+\dfrac{1}{2})^2$中$m = a$，$n=\dfrac{1}{2}$，则：
$\begin{aligned}(a+\dfrac{1}{2})^2&=a^{2}+2× a×\dfrac{1}{2}+(\dfrac{1}{2})^{2}\\&=a^{2}+a+\dfrac{1}{4}\end{aligned}$
(2) 根据完全平方公式$(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$，在$(7y - 2x)^2$中$m = 7y$，$n = 2x$，则：
$\begin{aligned}(7y - 2x)^2&=(7y)^{2}-2×7y×2x+(2x)^{2}\\&=49y^{2}-28xy + 4x^{2}\end{aligned}$
(3) 根据完全平方公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，在$(-1+\dfrac{1}{2}xy)^2$中$m=-1$，$n = \dfrac{1}{2}xy$，则：
$\begin{aligned}(-1+\dfrac{1}{2}xy)^2&=(-1)^{2}+2×(-1)×\dfrac{1}{2}xy+(\dfrac{1}{2}xy)^{2}\\&=1 - xy+\dfrac{1}{4}x^{2}y^{2}\end{aligned}$
(4) 根据完全平方公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，将$(-3a - 1)^2$变形为$[(-3a)+(-1)]^{2}$，其中$m=-3a$，$n=-1$，则：
$\begin{aligned}(-3a - 1)^2&=(-3a)^{2}+2×(-3a)×(-1)+(-1)^{2}\\&=9a^{2}+6a + 1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{a^{2}+a+\dfrac{1}{4}}$；
(2) $\boldsymbol{49y^{2}-28xy + 4x^{2}}$；
(3) $\boldsymbol{1 - xy+\dfrac{1}{4}x^{2}y^{2}}$；
(4) $\boldsymbol{9a^{2}+6a + 1}$
【知识点】
完全平方公式应用
【点评】
本题主要考查完全平方公式的基础应用，重点在于准确识别公式中的$m$和$n$，尤其是当式子中出现负号时，要注意符号的处理：一是负数的平方为正数，二是中间项的系数和符号要根据公式准确计算。通过这几个不同形式的小题，能帮助熟练掌握完全平方公式的两种形式，避免出现中间项系数错误、符号错误等常见问题。
【难度系数】
0.8
【分析】
对于这两道整式计算题，解题思路是先利用完全平方公式展开式子中的平方项，第(2)题还需运用单项式乘多项式法则展开乘法项，接着去括号，最后合并同类项得到最简结果：
(1) 先将$(2a + b)^2$用完全平方公式展开，再减去$b^2$，合并同类项即可；
(2) 分别展开$(2a - b)^2$和$4a(a + b)$，去括号后合并同类项得出最终结果。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}(2a + b)^2 - b^2&=(4a^2 + 4ab + b^2) - b^2\\&=4a^2 + 4ab + b^2 - b^2\\&=4a^2 + 4ab\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(2a - b)^2 - 4a(a + b)&=(4a^2 - 4ab + b^2) - (4a^2 + 4ab)\\&=4a^2 - 4ab + b^2 - 4a^2 - 4ab\\&=b^2 - 8ab\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4a^2 + 4ab}$；(2) $\boldsymbol{b^2 - 8ab}$
【知识点】
完全平方公式，整式的加减运算
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用及整式的混合运算，解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，注意去括号时的符号变化，准确合并同类项。
【难度系数】
0.8
上一页 下一页