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解：​$(1) $​如图​$ 1，$​延长​$ AC $​到​$ F，$​使​$ CF = AP，$​过点​$ P $​作​$ PE//AB，$​
且​$ PE = AB，$​连接​$ EF，$​得到平移后的​$△PEF$​：

​$(2) $​如图​$ 2，$​
由平移的性质得：​$AB = PE，$​​$BC = EF，$​
​$AC = PF，$​​$∠B = ∠E = 90°，$​
∴​$ S_{△ ABC} = S_{△ PEF} ，$​
∵​$ S_{△ ABC} = S_{直角梯形ABOP} + S_{△ POC} ，$​
∵​$ S_{直角梯形COEF} = S_{直角梯形ABOP} = 22 ，$​
故答案为：​$22.$​
​$(3) $​由平移的性质得：​$AB = PE，$​​$BC = EF，$​​$AC = PF，$​
​$∠B = ∠E = 90°，$​​$BC//EF，$​​$AB//PE，$​
四边形​$ ABOP、$​四边形​$ COEF $​都是直角梯形，
∵​$ OC = EC - EB = a - 3，$​​$EF = BC = a，$​
∴​$ S_{COEF} = \frac {1}{2}(OC + EF) × OE = \frac {1}{2} × (a - 3 + a) × 2 = 2a - 3 ，$​
由​$(2)$​得：​$ S_{直角梯形COEF} = S_{直角梯形ABOP} $​
∴​$ $​四边形​$ ABOP $​的面积为：​$2a - 3，$​
故答案为：​$2a - 3.$​
解：将​$△DEF $​竖直向上平移，使点​$D$​与点​$B$​重合，点​$E$​与点​$A$​重合，
得到​$△BAG，$​
​$△BCD$​水平向左平移，使得点​$D$​与点​$F_{重合}，$​点​$C$​与点​$A$​重合，
得到​$△GAF，$​
如下图，
则​$△DEF≌△BAG，$​​$△BCD≌△GAF，$​​$GB//FD，$​​$GF//BD，$​
∴​$S_{△EDF}=S_{△BAG}，$​​$S_{△BCD}=S_{△GAF}.$​
∵​$FD⊥BD，$​
∴​$S_{六边形}ABCDEF=S_{△DEF}+S_{△BCD}+S_{四边形BDFA}$​
​$=S_{△BAG}+S_{△GAF}+S_{四边形BDFA}$​
​$=FD•BD$​
​$=24×18$​
​$=432.$​
即六边形​$ABCDEF $​的面积是​$432$​


【分析】
(1) 平移的关键是确定对应点的位置，平移前后对应线段平行且相等，平移向量为$\overrightarrow{AP}$，因此过点P作与AB平行且相等的线段PE确定点E，再作与AC平行且相等的线段PF确定点F，连接EF即可得到平移后的三角形。
(2) 根据平移的性质，平移前后三角形面积相等，两个三角形减去公共部分$△ POC$的面积，剩余的四边形ABOP和四边形COEF面积相等，由此可直接得出面积。
(3) 由平移性质可知EF//BC、PE//AB，结合$∠ B=90°$可得PE⊥BC，四边形COEF是直角梯形，先求出OC的长度，再利用梯形面积公式计算出四边形COEF的面积，结合(2)的面积相等关系即可得到四边形ABOP的面积表达式。
【解析】
(1) 画图步骤：
① 过点P作$PE// AB$，且$PE=AB$；
② 在射线AC上截取$PF=AC$，确定点F；
③ 连接EF，则$△ PEF$即为平移后的图形（图略）。
(2) 解：
$\because △ ABC$沿射线AC平移得到$△ PEF$，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ PEF}$。
又$\because S_{△ ABC}=S_{四边形ABOP}+S_{△ POC}$，$S_{△ PEF}=S_{四边形COEF}+S_{△ POC}$，
$\therefore S_{四边形ABOP}=S_{四边形COEF}$。
已知$S_{四边形ABOP}=22$，
$\therefore S_{四边形COEF}=22$。
(3) 解：
由平移的性质得：$EF// BC$，$PE// AB$，$EF=BC=a$，$∠ PEF=∠ B=90°$。
$\because PE// AB$，$∠ B=90°$，
$\therefore PE⊥ BC$，即$∠ EOC=90°$。
$\because OC=BC-OB=a-3$，
$\therefore$ 四边形COEF是直角梯形，根据梯形面积公式：
$S_{四边形COEF}=\frac{1}{2}(OC+EF)· OE=\frac{1}{2}[(a-3)+a]×2=2a-3$。
由(2)知$S_{四边形ABOP}=S_{四边形COEF}$，
$\therefore S=2a-3$。
【答案】
(1) 图略；
(2) $\boldsymbol{22}$；
(3) $\boldsymbol{S=2a-3}$
【知识点】
1. 图形的平移性质；
2. 梯形面积公式；
3. 图形面积的转化
【点评】
本题围绕图形平移的性质展开，平移前后图形全等、对应线段平行且相等的性质是解题核心，通过面积转化将未知四边形面积与已知条件建立联系，同时考查了直角梯形的面积计算，需要熟练掌握平移性质和基本图形的面积计算方法。
【难度系数】
0.6
连接FD、BD，已知FD⊥BD，BD=18，FD=24。
由于AB//DE且AB=DE，AF//CD且AF=CD，BC//EF且BC=EF，根据平移性质，可将六边形ABCDEF通过平移转化为以BD和FD为邻边的矩形。
该矩形面积为BD×FD=18×24=432。
故六边形ABCDEF的面积为432。
【分析】
要解决这个问题，核心在于河宽固定（桥的长度固定），我们可以通过平移将折线路径转化为直线路径，利用“两点之间线段最短”来找到最短路线。思路如下：由于桥与河岸垂直，$MN$的长度等于河宽且固定，所以$A$到$B$的总路程为$AM+MN+NB$，要让总路程最短，只需让$AM+NB$最短。通过平移$A$点，使平移距离等于河宽，将$AM$转化为$A'N$，此时$AM+NB$就转化为$A'N+NB$，当$A'$、$N$、$B$三点共线时，$A'N+NB$最短，进而确定桥的位置。
【解析】
具体步骤如下：
1. 过点$A$作河岸的垂线，在垂线上截取$AA'$，使$AA'$的长度等于河的宽度（$A'$在$A$的下方）；
2. 连接$A'B$，交河的下河岸于点$N$；
3. 过点$N$作河岸的垂线，交河的上河岸于点$M$；
4. 则$MN$为所求的桥的位置，此时$A$村到$B$村的路线$AM+MN+NB$距离最短。
【答案】
桥修建在$MN$处（按上述步骤确定的位置），能使$A$村到$B$村的路线距离最短。
【知识点】
平移的应用，两点之间线段最短
【点评】
本题是平移变换在实际生活中的典型应用，通过平移将折线最短路径问题转化为直线最短问题，充分运用了“两点之间线段最短”的几何原理，体现了转化的数学思想，需要学生灵活运用几何知识解决实际问题。
【难度系数】
0.5
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