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解：(1)∵四边形 ​$ABCD$​ 是矩形
∴ ​$AB// CD$​，​$AB = CD$​，​$∠ BAD=∠ BCD = 90°$​，​$∴∠ AGE=∠ CHF$​
∵ ​$∠ BAD+∠ GAE=∠ BCD+∠ HCF = 180°$​
​$∴∠ GAE=∠ HCF = 90°$​
在 ​$△ AGE$​ 和 ​$△ CHF$​ 中，
​$\{\begin {array}{l}∠ AGE=∠ CHF\\∠ GAE=∠ HCF = 90°\\AE = CF\end {array} $​
​$∴△ AGE≌△ CHF(\mathrm {AAS})$​，
​$∴AG = CH$​，
​$∴AB + AG = CD + CH$​，即 ​$BG = DH$​
∵ ​$AB// CD$​，​$∴BG// DH$​，
∴四边形 ​$BHDG$​ 是平行四边形。
3
​$3\sqrt {3}$​
​$ 30°$​或​$90°$​
证明：(1)∵四边形​$ABCD$​、四边形​$AEFG$​是菱形，
∴​$AB = AD$​，​$AE = AG = EF = FG$​，​$EF// AG$​，​$FG// AE$​，
∴​$∠BEF = ∠A$​，​$∠DGF = ∠A$​，​$DG = BE$​，
∴​$∠DGF = ∠BEF$​，
∴​$△ BEF≌△ DGF(\mathrm {SAS})$​，
∴​$DF = BF$​
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