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解：∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴对角线​$AC$​与​$BD$​互相平分，
∴​$AO=\frac {1}{2}AC=5，$​​$DO=\frac {1}{2}BD=3。$​
∵​$∠ODA=90°，$​
∴在​$Rt△ODA$​中，​$AD²+DO²=AO²，$​
即​$AD²+3²=5²，$​
解得​$AD²=16，$​
​$AD=4。$​
证明：∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AB∥CD，$​​$AO=OC，$​​$AB=CD。$​
∴​$∠OAE=∠OCF。$​
在​$△AOE$​和​$△COF_{中}，$​
​$\begin {cases}{∠OAE=∠OCF}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end {cases}$​
∴​$△AOE≌△COF(\mathrm {ASA})。$​
∴​$AE=CF。$​
∵​$AB=CD，$​
∴​$AB - AE=CD - CF，$​即​$BE=DF。$​
解：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AO=OC。$​
∵​$EO⊥AC，$​
∴​$EO$​是​$AC$​的垂直平分线，
∴​$AE=CE。$​
∵​$△ABE$​的周长为​$10，$​
∴​$AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=10。$​
∴​$□ABCD$​的周长​$=2(AB+BC)=20。$​
​$(2)$​∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AD∥BC，$​​$∠DAB+∠ABC=180°，$​​$∠ACB=∠CAD。$​
∵​$∠DAB=108°，$​
∴​$∠ABC=180° - 108°=72°。$​
∵​$AE$​平分​$∠BAC，$​设​$∠BAE=∠CAE=x，$​则​$∠BAC=2x。$​
∵​$AE=CE，$​
∴​$∠ACB=∠CAE=x。$​
在​$△ABC$​中，​$∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，$​
即​$2x+72°+x=180°，$​
解得​$x=36°。$​
∴​$∠ACB=36°。$​
解​$： (1)C(4，-2)，$​​$D(1，2)$​
​$(2)$​线段​$AB$​绕原点旋转​$180°$​得到线段​$CD$​
​$(3)$​∵​$A(-4，2)，$​​$B(-1，-2)，$​​$O(0，0)，$​
∴​$△AOB$​的面积​$=\frac {1}{2}|x_{A}y_{B} - x_{B}y_{A}|$​
​$=\frac {1}{2}|(-4)×(-2) - (-1)×2|$​
​$=\frac {1}{2}|8 + 2|$​
​$=5。$​
方法：连接平行四边形的一条对角线​$($​如​$AC$​或​$BD)，$​可将平行四
边形分成两个全等的三角形。
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