第49页

信息发布者：
垂直
A
A
AB=AD（答案不唯一）
B
D
AB=AC（答案不唯一）
【分析】
这道题考查菱形的判定定理，我们需要回忆平行四边形与菱形的关系：菱形是特殊的平行四边形，从对角线的判定角度出发，当平行四边形的对角线满足特定条件时，就会成为菱形。我们只需准确对应菱形的判定定理，就能得出答案。
【解析】
根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此横线处应填“垂直”。
【答案】
垂直
【知识点】
菱形的判定
【点评】
本题属于几何基础题，直接考查菱形的核心判定定理，是需要熟练记忆的基础知识点，为后续复杂几何问题的解决奠定基础。
【难度系数】
0.9
【分析】
要解决这道题，需熟练掌握菱形、平行四边形及矩形的判定定理，通过逐一分析每个选项是否符合判定规则来得出答案。首先明确核心判定：四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形。随后对每个选项进行验证：
选项A符合菱形的直接判定定理；
选项B缺少“平行四边形”的前提，仅对角线垂直的四边形不一定是菱形；
选项C描述的是平行四边形的判定，并非菱形；
选项D描述的是矩形的判定，与菱形无关。
【解析】
根据各类特殊四边形的判定定理，逐一分析选项：
1. 选项A：根据菱形的判定定理，四边相等的四边形是菱形，该说法正确；
2. 选项B：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，例如仅对角线垂直但不互相平分的普通四边形，不满足菱形的判定条件，该说法错误；
3. 选项C：对角线互相平分的四边形是平行四边形，若要成为菱形，还需满足邻边相等或对角线互相垂直等额外条件，该说法错误；
4. 选项D：对角线相等的平行四边形是矩形，而非菱形，菱形的判定条件为“对角线互相垂直的平行四边形”，该说法错误。
综上，正确答案为A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的判定定理、平行四边形的判定、矩形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定定理，属于基础题型，关键在于准确区分菱形、平行四边形、矩形的判定条件，避免混淆各类定理的适用前提，通过逐一排查选项即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
【分析】
首先根据题目中的作图步骤，可判断出AP是∠BAD的角平分线，结合平行四边形$BC// AD$的性质，可推出$∠BAE=∠BEA$，进而得到$BE=AB$；再由作图可知$AF=AB$，结合$BE// AF$且$BE=AF$，可判定四边形$ABEF$是菱形，最后根据菱形的周长公式计算即可。
具体思考步骤：
1. 由尺规作图的特征，确定AP平分$∠BAD$；
2. 利用平行四边形对边平行的性质，得到内错角相等，进而推出$BE=AB$；
3. 根据作图得到$AF=AB$，结合$BE// AF$，判定四边形$ABEF$为菱形；
4. 已知$AB=4$，利用菱形周长公式计算出周长。
【解析】
本题可通过尺规作图的性质、平行四边形的性质及菱形的判定与性质求解：
1. 确定角平分线及线段相等关系：
根据尺规作图的步骤可知，AP是$∠BAD$的角平分线，即$∠ BAE = ∠ EAF$；
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$BC// AD$，则$∠ BEA = ∠ EAF$；
所以$∠ BAE = ∠ BEA$，根据等角对等边，可得$BE = AB = 4$。
2. 确定$AF$的长度：
由作图可知，以点$A$为圆心，$AB$的长为半径画弧交$AD$于$F$，所以$AF = AB = 4$。
3. 判定四边形$ABEF$的形状：
因为$BC// AD$，即$BE// AF$，且$BE = AF = 4$，所以四边形$ABEF$是平行四边形；
又因为$AB = AF = 4$，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形$ABEF$是菱形。
4. 计算周长：
菱形的周长为边长的4倍，已知$AB=4$，则四边形$ABEF$的周长为$4×4=16$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；菱形的判定；角平分线尺规作图
【点评】
本题考查了尺规作图的性质、平行四边形的性质及菱形的判定与性质，解题的关键是通过作图特征和平行四边形性质推出四边形$ABEF$为菱形。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先根据平移的性质，△ABC沿BC方向平移得到△DEF，可得AB//DE且AB=DE，AD//BE且AD=BE，因此四边形ABED是平行四边形。要证明平行四边形是菱形，根据菱形的判定定理，只需添加一组邻边相等（或对角线互相垂直等）的条件，即可使平行四边形ABED成为菱形，比如添加AB=AD，此时平行四边形ABED的邻边AB与AD相等，满足菱形的判定条件。
【解析】
1. 根据平移的性质：
因为△ABC沿BC方向平移得到△DEF，所以AB//DE，AB=DE，AD//BE，AD=BE。
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可证得四边形ABED是平行四边形。
2. 根据菱形的判定定理：
一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此添加条件AB=AD（或AB=BE、AD=DE、AE⊥BD等，任选其一即可），即可证明平行四边形ABED是菱形。
【答案】
AB=AD（答案不唯一）
【知识点】
平移的性质、菱形的判定
【点评】
本题考查平移性质与菱形判定定理的综合运用，需先利用平移性质推导出四边形为平行四边形，再结合菱形的判定条件添加合适的条件，答案不唯一，考查了对几何定理的理解与灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
【分析】
要判断平移方法是否错误，需先根据已知点坐标计算线段长度，确定$△ OAB$的形状，再结合菱形的性质（四边相等或对边平行且邻边相等），逐一分析各选项平移后得到的点$C$，验证以$O$，$A$，$B$，$C$为顶点的四边形是否为菱形。
1. 首先利用勾股定理计算$OA$、$OB$、$AB$的长度，判断$△ OAB$的形状；
2. 对每个选项，求出平移后点$C$的坐标，根据菱形的判定条件验证四边形是否为菱形；
3. 找出无法构成菱形的平移方法，即为答案。
【解析】
先计算线段长度：
已知$O(0,0)$，$A(1,\sqrt{3})$，$B(2,0)$，
$OA=\sqrt{(1-0)^2+(\sqrt{3}-0)^2}=\sqrt{1+3}=2$，
$OB=\sqrt{(2-0)^2+(0-0)^2}=2$，
$AB=\sqrt{(2-1)^2+(0-\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2$，
因此$△ OAB$是等边三角形，$OA=OB=AB=2$。
逐一分析选项：
选项A：点$B(2,0)$向左平移$3$个单位，再向上平移$\sqrt{3}$个单位，得$C(-1,\sqrt{3})$。
$AC=\sqrt{(-1-1)^2+(\sqrt{3}-\sqrt{3})^2}=2$，$AC// OB$（$AC$与$OB$均为水平方向），且$AC=OB=2$，又$OA=AB=2$，故四边形$OACB$是平行四边形，且邻边$OA=AB$，为菱形，该平移方法正确。
选项B：点$B(2,0)$向左平移$\sqrt{3}$个单位，再向上平移$2$个单位，得$C(2-\sqrt{3},2)$。
$OC=\sqrt{(2-\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{11-4\sqrt{3}}≠2$，$BC=\sqrt{(2-\sqrt{3}-2)^2+(2-0)^2}=\sqrt{7}≠2$，无法满足四边相等或对边平行且邻边相等的菱形判定条件，不能构成菱形，该平移方法错误。
选项C：点$B(2,0)$向右平移$1$个单位，再向上平移$\sqrt{3}$个单位，得$C(3,\sqrt{3})$。
$AC=\sqrt{(3-1)^2+(\sqrt{3}-\sqrt{3})^2}=2$，$AC// OB$且$AC=OB=2$，又$OA=AB=2$，故四边形$OABC$是平行四边形，且邻边$OA=AB$，为菱形，该平移方法正确。
选项D：点$B(2,0)$向左平移$1$个单位，再向下平移$\sqrt{3}$个单位，得$C(1,-\sqrt{3})$。
$OC=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}=2$，$BC=\sqrt{(1-2)^2+(-\sqrt{3}-0)^2}=2$，则$OA=AB=BC=CO=2$，四边形$OABC$四边相等，为菱形，该平移方法正确。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定；坐标与图形平移；勾股定理
【点评】
本题考查菱形的判定与坐标平移的综合应用，关键是先通过勾股定理计算线段长度确定三角形形状，再结合菱形的性质对每个平移情况进行验证，需注意四边形顶点的不同排列情况。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先，根据平行四边形的性质及已知条件，先证明四边形$EGFH$是平行四边形：利用$□ ABCD$的性质得到$AD// BC$且$AD=BC$，结合$E$、$F$为中点证得$AE=FC$，再由$AH=CG$推出$AG=CH$，进而通过SAS证明$△ AEG≌△ CFH$，得到$EG=FH$且$EG// FH$，确定$EGFH$是平行四边形。
接下来，要使平行四边形$EGFH$成为菱形，需满足“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的菱形判定条件，逐一分析选项：
选项A、B、C均无法使平行四边形$EGFH$满足菱形的判定要求；
选项D中，$AB⊥ AC$可推出$EF⊥ AC$（由$ABFE$是平行四边形得$EF// AB$），即平行四边形$EGFH$的对角线互相垂直，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定其为菱形。
【解析】
1. 证明四边形$EGFH$是平行四边形：
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$AD=BC$，$\therefore ∠ EAG=∠ FCH$。
$\because E$，$F$分别为$AD$，$BC$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AD$，$FC=\frac{1}{2}BC$，$\therefore AE=FC$。
$\because AH=CG$，$\therefore AH-GH=CG-GH$，即$AG=CH$。
在$△ AEG$和$△ CFH$中：
$\begin{cases}AE=FC \\∠ EAG=∠ FCH \\AG=CH\end{cases}$
$\therefore △ AEG≌△ CFH(\mathrm{SAS})$，
$\therefore EG=FH$，$∠ AGE=∠ CHF$，
$\therefore ∠ EGH=∠ FHG$，$\therefore EG// FH$，
$\therefore$ 四边形$EGFH$是平行四边形。
2. 分析各选项：
选项A：若$AB=AD$，则$□ ABCD$是菱形，无法推出平行四边形$EGFH$的邻边相等或对角线垂直，不能判定其为菱形；
选项B：若$AB⊥ AD$，则$□ ABCD$是矩形，无法满足平行四边形$EGFH$成为菱形的条件；
选项C：若$AB=AC$，仅能说明$△ ABC$为等腰三角形，无法推出平行四边形$EGFH$的特殊性质；
选项D：若$AB⊥ AC$，
$\because AE// BF$且$AE=BF$（$E$、$F$为中点，$AD=BC$），
$\therefore$ 四边形$ABFE$是平行四边形，$\therefore EF// AB$。
$\because AB⊥ AC$，$\therefore EF⊥ AC$，即$EF⊥ GH$。
$\because$ 平行四边形$EGFH$的对角线互相垂直，
$\therefore$ 四边形$EGFH$是菱形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定与性质、菱形的判定
【点评】
本题综合考查平行四边形和菱形的判定与性质，解题的关键是先证出四边形$EGFH$为平行四边形，再结合菱形的判定定理，通过分析选项中条件对平行四边形$EGFH$的影响，确定符合要求的选项，需熟练掌握特殊四边形的判定与性质之间的关联。
【难度系数】
0.6
【分析】
要使四边形AEDF是菱形，需结合已知条件逐步推导：
1. 已知E、F分别是AB、AC的中点，根据三角形中位线定理，可得$EF// BC$；同时在$Rt△ ABD$和$Rt△ ADC$中，E、F为斜边中点，由直角三角形斜边中线定理可知$DE=AE=\frac{1}{2}AB$，$DF=AF=\frac{1}{2}AC$。
2. 菱形的判定可从“四条边相等的四边形”或“一组邻边相等的平行四边形”入手。
3. 若要满足四边形AEDF是菱形，可通过让$AB=AC$，使$AE=AF=DE=DF$，直接得到四条边相等的菱形；也可先证四边形AEDF是平行四边形，再结合$AB=AC$推出邻边相等，从而判定为菱形。
【解析】
当$△ ABC$满足$AB=AC$时，四边形AEDF是菱形，推导如下：
1. 因为E、F分别是AB、AC的中点，根据三角形中位线定理，得$EF// BC$。
2. 已知$AD⊥ BC$，且$AB=AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，可知D是BC的中点。
3. 又因为E是AB中点，D是BC中点，所以ED是$△ ABC$的中位线，故$ED// AC$；同理$DF// AB$，因此四边形AEDF是平行四边形。
4. 由于$AB=AC$，E、F分别是AB、AC的中点，所以$AE=AF$。
5. 根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定平行四边形AEDF是菱形。
【答案】
$AB=AC$（答案不唯一，如$∠ B=∠ C$、$BD=CD$等均可）
【知识点】
菱形的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查菱形判定与三角形相关性质的应用，答案具有开放性，需要灵活结合定理推导，有助于培养学生的逻辑推理能力与发散思维。
【难度系数】
0.6
上一页 下一页