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【分析】
要证明四边形$ABCD$是菱形，可先回忆菱形的判定方法，优先考虑“先证平行四边形，再结合特殊条件判定菱形”的思路：
1. 利用$AM// BN$的平行线性质，结合$AC$平分$∠ BAM$的角平分线条件，推导角相等，进而得到边相等$BA=BC$；
2. 再通过$BD⊥ AC$的垂直条件，结合角平分线，推导得出$AB=AD$，从而得到$AD=BC$，结合$AD// BC$证明四边形是平行四边形；
3. 最后利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AM// BN$，
∴ $∠ DAC=∠ BCA$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $AC$ 平分 $∠ BAM$，
∴ $∠ DAC=∠ BAC$（角平分线的定义）。
∴ $∠ BCA=∠ BAC$（等量代换）。
∴ $BA=BC$（等角对等边）。
∵ $BD⊥ AC$，
∴ $∠ AOB=∠ AOD=90°$（垂直的定义）。
∵ $∠ DAC=∠ BAC$，根据三角形内角和定理，$∠ ABO=90°-∠ BAC$，$∠ ADO=90°-∠ DAC$，
∴ $∠ ABO=∠ ADO$（等量代换）。
∴ $AB=AD$（等角对等边）。
∴ $AD=BC$（等量代换）。
又
∵ $AD// BC$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵ $BD⊥ AC$，
∴ $□ ABCD$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
【答案】
四边形$ABCD$是菱形得证。
【知识点】
菱形的判定；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了几何图形的性质与判定，解题核心是通过角的关系推导边的等量关系，逐步完成平行四边形和菱形的判定，需要学生熟练掌握平行线、角平分线、等腰三角形及菱形相关定理的转化应用，理清角与边的逻辑关联。
【难度系数】
0.6

【分析】
1. 对于第(1)问：要证明四边形$EFGH$是矩形的内接菱形，需结合内接菱形的定义，先证它是菱形，再确认顶点位置符合要求。首先利用矩形“对角线互相平分、对边平行”的性质，得到全等三角形的条件，证明$△ AOF≌△ COH$，推出$OF=OH$，同理证得$OE=OG$，由此可证四边形$EFGH$是平行四边形；再结合已知$EG⊥ FH$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，即可证得它是菱形，结合题目给出的点的位置，满足内接菱形的定义。
2. 对于第(2)问：
① 作图可利用(1)的结论，过矩形的中心作两条互相垂直的线段，分别与矩形各边交于四点，顺次连接即可得到内接菱形（或作长度为$a$的对角线，再作其垂直平分线与矩形边相交，连接成菱形）。
② 需先通过勾股定理算出矩形对角线长为10，再分类讨论对角线$a$的不同取值范围：结合矩形的边长、对角线长度，分析不同长度下内接菱形的存在数量，注意边界值的特殊情况。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $OA=OC$，$AB// CD$，
∴ $∠ OAF=∠ OCH$。
在$△ AOF$和$△ COH$中，
$\begin{cases}∠ OAF=∠ OCH \\OA=OC \\∠ AOF=∠ COH\end{cases}$
∴ $△ AOF≌△ COH$（ASA），
∴ $OF=OH$。
同理可证：$OE=OG$，
∴ 四边形$EFGH$是平行四边形。
又
∵ $EG⊥ FH$，
∴ 平行四边形$EFGH$是菱形。
∵ 点$E$，$F$，$G$，$H$分别在矩形$ABCD$的各边（不含端点）上，
∴ 四边形$EFGH$为矩形$ABCD$的内接菱形。
(2) ① 作图：
步骤：连接矩形$ABCD$的对角线$AC$、$BD$交于点$O$；过点$O$作一条长度为$a$的线段$EG$，分别交$AB$、$CD$于$E$、$G$；作$EG$的垂线$FH$，分别交$AD$、$BC$于$H$、$F$；顺次连接$E$、$F$、$G$、$H$，四边形$EFGH$即为所求（作图痕迹保留，答案不唯一）。
② 由$AB=6$，$AD=8$，根据勾股定理得矩形对角线长为$\sqrt{6^2+8^2}=10$，分类讨论：
当$0＜a＜6$时，无法作出符合条件的内接菱形，个数为$0$；
当$a=6$时，仅存在$1$个以$6$为对角线的内接菱形；
当$6＜a＜8$时，存在$2$种不同位置的内接菱形；
当$8＜a＜10$时，存在$4$种不同位置的内接菱形；
当$a=10$时，存在$2$个以矩形对角线为对角线的内接菱形；
当$a＞10$时，矩形内最长线段为对角线10，无法作出，个数为$0$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) ① 作图见上述解析（答案不唯一）；
② 当$0＜a＜6$时，$0$个；当$a=6$时，$1$个；当$6＜a＜8$时，$2$个；当$8＜a＜10$时，$4$个；当$a=10$时，$2$个；当$a＞10$时，$0$个。
【知识点】
矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定
【点评】
本题综合考查了矩形、菱形的性质与判定，同时涉及分类讨论思想的应用，需要结合矩形的边长、对角线长度，全面分析不同对角线长度下内接菱形的存在情况，对图形的空间想象能力和逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3