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相等
直角
相等
直角
相等
互相垂直平分
B
C
A
8
(-7,0)
【分析】
这道题考查正方形的定义，解题时需要回忆正方形的边和角的特征。正方形是特殊的菱形和矩形，菱形的四条边相等，矩形的四个角为直角，因此正方形同时具备这两个特征，我们只需根据这一思路填写对应的内容即可。
【解析】
根据正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形叫作正方形，所以依次填入“相等”“直角”。
【答案】
相等，直角
【知识点】
正方形的定义
【点评】
本题为基础概念题，主要考查对正方形定义的准确记忆，是学习特殊四边形相关知识的基础内容，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
【分析】
要解决这道题，我们可以从正方形与矩形、菱形的特殊关系入手思考：
1. 矩形的核心性质是四个角均为直角、对边相等，而正方形要求四条边都相等，因此在矩形的基础上，补充“一组邻边相等”的条件，就能使四条边全部相等，满足正方形的边的特征，进而判定为正方形。
2. 菱形的核心性质是四条边都相等、邻角互补，而正方形要求四个角均为直角，因此在菱形的基础上，补充“有一个角是直角”的条件，根据邻角互补可推出其余角也为直角，满足正方形的角的特征，进而判定为正方形。
【解析】
结合正方形、矩形、菱形的属性关系分析：
矩形具备四个角为直角的特征，当一组邻边相等时，四条边长度一致，同时满足正方形“四条边相等、四个角为直角”的定义，因此是正方形。
菱形具备四条边相等的特征，当有一个角是直角时，由邻角互补可推导出其余三个角也为直角，同时满足正方形的定义，因此是正方形。
【答案】
相等，直角
【知识点】
正方形的判定，矩形的性质，菱形的性质
【点评】
本题考查正方形的基础判定定理，重点在于理解正方形作为特殊矩形和特殊菱形的双重属性，需牢记矩形、菱形转化为正方形的关键条件，这是四边形相关知识的基础内容。
【难度系数】
0.9
【分析】
要解决这道题，我们可以从正方形的定义入手，正方形是特殊的矩形，同时也是特殊的菱形。回忆矩形的对角线性质：矩形的对角线相等；菱形的对角线性质：菱形的对角线互相垂直平分。因为正方形兼具矩形和菱形的所有性质，所以它的对角线同时具备这两类图形对角线的特点，由此可以得出答案。
【解析】
正方形是特殊的平行四边形，同时属于特殊的矩形和菱形。矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直平分，因此正方形的对角线相等且互相垂直平分。
【答案】
相等，互相垂直平分
【知识点】
正方形对角线性质
【点评】
本题考查正方形的基本性质，需要结合矩形和菱形的对角线性质来理解记忆，属于基础概念题，重点在于对特殊四边形性质的综合掌握。
【难度系数】
0.9
【分析】
要解决这道题，需明确正方形的判定逻辑：正方形是既是菱形又是矩形的平行四边形。因此我们先分析每个条件对平行四边形的影响：
1. 条件①$AB=BC$：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2. 条件②$∠ABC=90°$：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
3. 条件③$AC=BD$：对角线相等的平行四边形是矩形；
4. 条件④$AC⊥BD$：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
接下来逐个分析选项的条件组合，判断是否能使平行四边形成为正方形：若组合能同时让平行四边形成为菱形和矩形，则是正方形；若只能得到矩形或菱形，则不是正方形。
【解析】
已知四边形$ABCD$是平行四边形，对各选项逐一分析：
选项A：选①$AB=BC$和②$∠ABC=90°$
由①可知，平行四边形$ABCD$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；再结合②，菱形中存在一个直角，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，可判定四边形$ABCD$是正方形，该选法正确。
选项B：选②$∠ABC=90°$和③$AC=BD$
由②可知，平行四边形$ABCD$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；而矩形本身就满足对角线相等（③$AC=BD$是矩形的性质），因此该组合只能得到矩形，无法保证是正方形（如长≠宽的普通矩形），该选法错误。
选项C：选①$AB=BC$和③$AC=BD$
由①可知，平行四边形$ABCD$是菱形；再结合③，菱形中对角线相等，根据“对角线相等的菱形是正方形”，可判定四边形$ABCD$是正方形，该选法正确。
选项D：选②$∠ABC=90°$和④$AC⊥BD$
由②可知，平行四边形$ABCD$是矩形；再结合④，矩形中对角线互相垂直，根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”，可判定四边形$ABCD$是正方形，该选法正确。
综上，选法错误的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的判定；矩形的判定；菱形的判定
【点评】
本题核心考查特殊平行四边形的判定定理，需准确区分矩形、菱形、正方形的判定条件与性质的差异，明确正方形是矩形和菱形的结合体，解题时需逐一分析条件组合对平行四边形的转化作用，避免混淆判定定理。
【难度系数】
0.6
【分析】
要判断四边形$OECF$的面积变化情况，可通过面积转化的思路分析：首先利用正方形的性质得到边和角的等量关系，再结合旋转后三角板的直角特性，推出角相等，进而证明三角形全等，将四边形$OECF$的面积转化为正方形中固定三角形的面积，以此判断面积是否变化。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $OC=OD$，$∠ OCE=∠ ODF=45°$，$∠ COD=90°$。
∵ 三角板的直角顶点在$O$处，旋转后$∠ EOF=90°$，
∴ $∠ COE + ∠ EOD = 90°$，$∠ DOF + ∠ EOD = 90°$，
∴ $∠ COE=∠ DOF$。
在$△ COE$和$△ DOF$中：
$\begin{cases}∠ OCE=∠ ODF \\OC=OD \\∠ COE=∠ DOF\end{cases}$
∴ $△ COE ≌ △ DOF$（ASA）。
∴ $S_{△ COE}=S_{△ DOF}$。
则$S_{\mathrm{四边形}OECF}=S_{△ COE}+S_{△ OCF}=S_{△ DOF}+S_{△ OCF}=S_{△ COD}$。
又
∵ $S_{△ COD}=\frac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD}$，是定值，
∴ 四边形$OECF$的面积始终不变。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【点评】
本题借助全等三角形的判定与性质，将四边形面积转化为固定的三角形面积，体现了几何中的转化思想，解题关键是发现旋转过程中全等的三角形，实现面积的等价转化。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题是正方形内含45°角的几何问题，解题思路如下：
1. 利用正方形边长相等、内角为90°的性质，通过旋转构造全等三角形：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，把DF转化为BG，同时将∠DAF转化为∠BAG；
2. 结合∠EAF=45°，推导得出∠GAE=∠EAF，进而证明△GAE≌△FAE，得到GE=EF，实现线段的转化；
3. 设BE的长度为未知数，用未知数表示出EC、CF、EF的长度，在Rt△ECF中利用勾股定理建立方程，解方程即可求出BE的长。
【解析】
解：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
由旋转性质可知：△ADF≌△ABG，
∴$AG=AF$，$BG=DF=2$，$∠BAG=∠DAF$，$∠ABG=∠D=90°$。
∵$∠ABG+∠ABC=90°+90°=180°$，
∴G、B、E三点共线。
∵四边形ABCD是正方形，$∠BAD=90°$，$∠EAF=45°$，
∴$∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°$，
∴$∠BAE+∠BAG=∠GAE=45°$，即$∠GAE=∠EAF$。
在△GAE和△FAE中：
$\{\begin{array}{l} AG=AF \\ ∠GAE=∠EAF \\ AE=AE \end{array} $
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴$GE=EF$。
设$BE=x$，则：
$GE=BG+BE=2+x$，
$EC=BC-BE=5-x$，
$CF=CD-DF=5-2=3$。
在Rt△ECF中，根据勾股定理：$EC^2+CF^2=EF^2$，
代入得：$(5-x)^2 + 3^2 = (x+2)^2$，
展开并整理：
$25-10x+x^2+9=x^2+4x+4$，
$14x=30$，
解得：$x=\frac{15}{7}$。
【答案】
$\boxed{A}$（或$\boxed{\frac{15}{7}}$）
【知识点】
1. 正方形的性质；2. 全等三角形判定与性质；3. 勾股定理
【点评】
本题借助旋转构造全等三角形，将分散的线段集中，利用勾股定理建立方程求解，充分体现了转化思想与方程思想在几何解题中的应用，是正方形与全等三角形、勾股定理结合的典型题型，需要掌握旋转构造全等的技巧。
【难度系数】
0.3
【分析】
要计算△AFC的面积，可从两种思路入手：
1. 等积变换法：利用正方形的性质证明FB//AC，此时△AFC与△ABC同底等高，面积相等，而△ABC的面积是正方形ABCD面积的一半，可直接求出结果；
2. 参数法：设正方形EFGB的边长为x，通过坐标法或面积和差公式计算，参数x会被消去，得到定值面积。优先选择等积变换法，计算更简便。
【解析】
方法一：等积变换法
连接FB，
∵ 四边形ABCD和EFGB均为正方形，
∴ ∠FBA = 45°，∠BCA = 45°，
∴ ∠FBA = ∠BCA，
∴ FB//AC（内错角相等，两直线平行）。
∵ △AFC与△ABC以AC为底，且FB//AC，两三角形的高相等，
∴ $ S_{△ AFC} = S_{△ ABC} $。
∵ 正方形ABCD的边长为4，
∴ $ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8 $，
∴ $ S_{△ AFC} = 8 $。
方法二：参数法
设正方形EFGB的边长为x，以B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则A(0,4)，F(-x,x)，C(4,0)。
根据三角形面积坐标公式：
$ S_{△ AFC} = \frac{1}{2} \left| x_A(y_F - y_C) + x_F(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_F) \right| $，
代入各点坐标：
$ S = \frac{1}{2} \left| 0 × (x-0) + (-x) × (0-4) + 4 × (4 - x) \right| $
$ = \frac{1}{2} \left| 0 + 4x + 16 - 4x \right| $
$ = \frac{1}{2} × 16 = 8 $。
【答案】
8
【知识点】
正方形的性质，三角形面积计算，等积变换
【点评】
本题考查正方形性质与三角形面积的综合应用，既可以通过设参数消元求解，也可利用平行线间的等积变换简化运算，关键是发现图形中的平行关系，或通过代数运算消去参数得到定值面积，考验对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
【分析】
要确定点D的坐标，由于D在x轴上，纵坐标为0，只需计算横坐标。利用正方形AD=AB、∠DAB=90°的性质，过点A作x轴、y轴的垂线构造直角三角形，通过同角的余角相等推出∠DAM=∠BAN，进而证明△AMD≌△ANB，利用全等三角形对应边相等的性质，结合A、B的坐标计算线段长度，最终得到D的横坐标。
【解析】
过点A作$AM ⊥ x$轴于点$M$，$AN ⊥ y$轴于点$N$，则$∠ AMD = ∠ ANB = 90°$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AD = AB$，$∠ DAB = 90°$，
∴ $∠ DAM + ∠ MAN = 90°$，$∠ BAN + ∠ MAN = 90°$，
∴ $∠ DAM = ∠ BAN$。
在$△ AMD$和$△ ANB$中：
$\begin{cases}∠ AMD = ∠ ANB \\∠ DAM = ∠ BAN \\AD = AB\end{cases}$
∴ $△ AMD ≌ △ ANB$（AAS）。
∴ $MD = NB$。
已知点$A(-2,2)$，$B(0,-3)$，
则$NB = 2 - (-3) = 5$，$M$点坐标为$(-2,0)$，
∴ $MD = 5$。
∵ 点$D$在$x$轴负半轴，
∴ 点$D$的横坐标为$-2 - 5 = -7$，纵坐标为$0$，
即点$D$的坐标为$\boldsymbol{(-7, 0)}$。
【答案】
$(-7, 0)$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形判定与性质，坐标与线段转化
【点评】
本题通过构造辅助线将正方形的性质转化为全等三角形的判定条件，考查了正方形性质、全等三角形的应用以及平面直角坐标系中坐标与线段长度的转化，需要灵活运用几何性质进行线段和坐标的推导。
【难度系数】
0.6
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