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【分析】
要证明矩形ABCD是正方形，根据正方形的判定定理，只需证明矩形的一组邻边相等（AB=AD）。首先利用矩形的性质得到∠BAD=∠ADE=90°，再结合AE⊥BF，通过同角的余角相等推出∠ABF=∠DAE，然后结合已知AE=BF，利用AAS证明△ABF≌△DAE，从而得到AB=DA，即可证明矩形ABCD是正方形。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=∠ADE=90°，
∴ ∠ABF+∠AFB=90°．
∵ AE⊥BF，
∴ ∠DAE+∠AFB=90°，
∴ ∠ABF=∠DAE．
在△ABF和△DAE中，
$\{\begin{array}{l}∠ABF=∠DAE\\∠BAF=∠ADE\\BF=AE\end{array} $
∴ △ABF≌△DAE（AAS），
∴ AB=DA，
∴ 矩形ABCD是正方形．
【答案】
矩形ABCD是正方形
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定（AAS）；正方形的判定
【点评】
本题主要考查矩形、正方形的性质与判定，以及全等三角形的判定与性质。解题关键是通过角的关系找到全等三角形的判定条件，将证明正方形的问题转化为证明矩形邻边相等的问题，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先，根据正方形沿DE翻折的性质，翻折前后对应边、对应角相等，可得EG=AE，DG=AD=CD，∠DGE=∠A=90°，进而推出∠DGF=∠C=90°。为了建立CF与已知边的关系，连接DF，利用HL定理可证明Rt△DGF和Rt△DCF全等，得到CF=GF。接着设CF=GF=x，用含x的式子表示出BF、EF的长度，最后在Rt△BEF中，根据勾股定理列方程求解即可得到CF的长。
【解析】
连接DF。
∵ 将正方形沿DE翻折，点A落在点G处，
∴ EG=AE=3，DG=AD=CD，∠DGE=∠A=90°，
∴ ∠DGF=180°-∠DGE=90°，即∠DGF=∠C=90°。
在Rt△DGF和Rt△DCF中，
$\{\begin{array}{l} DG=DC\\ DF=DF\end{array} $
∴ Rt△DGF≌Rt△DCF（HL），
∴ CF=GF。
设CF=GF=x，则BF=BC-CF=7-x，EF=EG+GF=3+x，
∵ 四边形ABCD是正方形，AB=7，AE=3，
∴ BE=AB-AE=7-3=4，∠B=90°。
在Rt△BEF中，根据勾股定理：$BE^{2}+BF^{2}=EF^{2}$，
代入得：$4^{2}+(7-x)^{2}=(3+x)^{2}$，
展开计算：$16+49-14x+x^{2}=9+6x+x^{2}$，
移项化简：$65-14x=9+6x$，
$20x=56$，
解得$x=\frac{14}{5}$。
∴ CF的长为$\frac{14}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{14}{5}}$
【知识点】
正方形的性质；翻折变换（轴对称）；勾股定理
【点评】
本题主要考查翻折变换的性质、正方形的性质以及勾股定理的应用，关键是通过构造全等三角形将CF转化为GF，再利用勾股定理建立方程求解，体现了转化思想和方程思想的运用。
【难度系数】
0.5

【分析】
1. 对于第(1)问：当E是AC中点时，结合图②可知F与B重合，此时AF为正方形的边AB，DE是正方形对角线AC的一半。利用正方形对角线与边长的关系（对角线长度是边长的$\sqrt{2}$倍），可直接推导AF与DE的数量关系：AC=$\sqrt{2}$AB，DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}AB}{2}$，因此AB=$\sqrt{2}$DE，即AF=$\sqrt{2}$DE。
2. 对于第(2)问：题目提示将AF平移得到DG，需把AF与DE的关系转化为DG与DE的关系。思路是构造全等三角形，证明DE=EG且∠DEG=90°，使△DEG成为等腰直角三角形，从而得到DG=$\sqrt{2}$DE，再结合平移性质AF=DG，最终得出AF与DE的关系。
【解析】
(1) 当E是AC中点时，由图②可知F与B重合。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD，AC=$\sqrt{2}$AB，AC与BD互相平分且相等，
∴ DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}AB}{2}$，
又
∵ AF=AB，
∴ AF=$\sqrt{2}$DE。
(2) 方法一：
过点E作$MN// CD$，交AD于点N，交BC于点M。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠ DAB=∠ B=∠ BCD=∠ ADC=90°$，$AB=BC=CD=DA$，$∠ ACB=45°$，
∴ $∠ NMC=180°-∠ DCM=90°$，四边形MCDN是矩形，
∴ $ND=MC$，$MN=CD$，$∠ DNE=90°$。
∵ $EF⊥ AC$，$∠ ACB=45°$，
∴ $△ CEF$是等腰直角三角形，$EM=FM=CM$，
∴ $EM=DN$。
由平移的性质可知：$BF=CG$，$AF=DG$，
∴ $BF+FM=CG+MC$，即$BM=MG$。
∵ $NE=MN-EM$，$BM=BC-CM$，且$MN=CD=BC$，
∴ $NE=BM=MG$。
在$△ DNE$和$△ EMG$中：
$\{\begin{array}{l}DN=EM \\∠ DNE=∠ EMG=90° \\NE=MG\end{array} $
∴ $△ DNE≌△ EMG$（SAS），
∴ $DE=EG$，$∠ DEN=∠ EGM$。
∵ $∠ EGM+∠ MEG=90°$，
∴ $∠ DEN+∠ MEG=90°$，
∴ $∠ DEG=180°-(∠ DEN+∠ MEG)=90°$，
∴ $△ DEG$是等腰直角三角形，
∴ $DG=\sqrt{2}DE$。
又
∵ $AF=DG$，
∴ $AF=\sqrt{2}DE$。
方法二：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠ BCD=90°$，$BC=DC$，$∠ ECD=45°$。
由平移的性质可知：$BC=FG$，
∴ $CD=FG$。
∵ $FE⊥ AC$，$∠ ACB=45°$，
∴ $∠ EFC=45°$，
∴ $∠ ECD=∠ EFG=45°$。
在$△ DEC$和$△ GEF$中：
$\{\begin{array}{l}CD=FG \\∠ ECD=∠ EFG \\EC=EF\end{array} $
∴ $△ DEC≌△ GEF$（SAS），
∴ $DE=GE$，$∠ DEC=∠ GEF$。
∵ $∠ DEC+∠ DEF=90°$，
∴ $∠ GEF+∠ DEF=∠ DEG=90°$，
∴ $△ DEG$是等腰直角三角形，
∴ $DG=\sqrt{2}DE$。
又
∵ $AF=DG$，
∴ $AF=\sqrt{2}DE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AF=\sqrt{2}DE}$；
(2) $\boldsymbol{AF=\sqrt{2}DE}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题从特殊位置到一般位置探究线段关系，通过平移变换将分散线段集中，考查了对正方形性质、全等三角形及等腰直角三角形性质的综合运用，解题关键是利用平移构造全等三角形，将线段关系转化为等腰直角三角形的边长关系。
【难度系数】
0.3