第68页

信息发布者：
B
A
D
2ab
2ab
6a
20x
$-(x+2y)^2$
解：原式= $(a-2)^2$
不能分解
解：原式= $(2a+1)^2$
不能分解
B
D
$-30ab$
$-y^2$
$2x - y$
【分析】
要判断哪个式子能用完全平方公式因式分解，首先需明确完全平方公式的结构特征：一个二次三项式需满足“首平方，尾平方，首尾两倍在中央（符号可加可减）”，即形如$a^2 \pm 2ab + b^2$的形式，其中首尾两项是两个数（或式）的平方，中间项是这两个数（或式）乘积的2倍，且符号可正可负。接下来我们逐个分析选项是否符合该结构。
【解析】
完全平方公式的因式分解形式为：$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$，据此分析各选项：
选项A：$x^2 - 4x + 1$，若$x^2$是$a^2$，$1$是$b^2$，则$2ab = 2 × x × 1 = 2x$，但式子中间项是$-4x$，与$2x$不相等，不符合完全平方公式结构；
选项B：$x^2 + 6x + 9$，其中$x^2 = x^2$，$9 = 3^2$，中间项$6x = 2 × x × 3$，恰好符合$a^2 + 2ab + b^2$的结构，可因式分解为$(x + 3)^2$，能用完全平方公式因式分解；
选项C：$x^2 - 4x + 9$，若$x^2$是$a^2$，$9$是$b^2$，则$2ab = 2 × x × 3 = 6x$，式子中间项是$-4x$，与$6x$不相等，不符合完全平方公式结构；
选项D：$x^2 + 4x - 4$，常数项为$-4$，是负数，而完全平方公式中的尾项（常数项）应为非负数（平方的结果），因此不符合结构特征。
综上，只有选项B能用完全平方公式因式分解。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式因式分解
【点评】
本题主要考查完全平方公式的结构特征，解题的关键是准确识别“首平方、尾平方、首尾两倍项”的形式，注意常数项需为非负数，且中间项的绝对值是首尾两项平方根乘积的2倍。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这道题，我们可以利用完全平方公式将等式右边展开，再根据多项式相等的核心条件——对应同类项的系数相等，建立方程求解a和b的值。具体思路如下：首先回忆完全平方公式展开右边的式子，然后对比左右两边$x^2$项、$x$项的系数以及常数项，分别列出关于b和a的等式，进而解出a、b的值，最后匹配选项。
【解析】
第一步，利用完全平方公式展开等式右边：
根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，将$(bx-3)^2$展开可得：
$(bx-3)^2 = b^2x^2 - 2· bx·3 + 3^2 = b^2x^2 - 6bx + 9$
第二步，根据多项式相等的条件列方程：
已知$x^2 - 6x + a = b^2x^2 - 6bx + 9$，两个多项式相等时，对应同类项的系数相等，因此：
1. 对比$x^2$项的系数：$1 = b^2$
2. 对比$x$项的系数：$-6 = -6b$
3. 对比常数项：$a = 9$
第三步，求解b的值：
由$-6 = -6b$，两边同时除以$-6$，可得$b = 1$，此时$b^2=1^2=1$，满足$1 = b^2$的条件。
综上，$a=9$，$b=1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，多项式相等的条件
【点评】
本题属于基础题型，主要考查完全平方公式的展开应用以及多项式相等的性质。解题的关键是准确展开完全平方式，通过对应同类项系数相等建立方程，进而求出参数值，需要学生熟练掌握整式的运算规则。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这道题，需先明确完全平方公式的两种结构形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，其核心特征是“首平方、尾平方，首尾两倍乘积在中央，符号可正可负”。首先将题目中的多项式与完全平方公式对应，确定首项$x^2$对应$a^2$，尾项$4y^2$对应$b^2$，由此得出尾项底数为$\pm2y$，再根据中间项的表达式$\pm2ab$，计算出$k$的取值。
【解析】
完全平方公式的一般形式为：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
对于多项式$x^2+kxy+4y^2$：
1. 确定首项与尾项：$x^2=(x)^2$，$4y^2=(\pm2y)^2$；
2. 对比完全平方公式的中间项：
当多项式为$(x+2y)^2$时，展开得$x^2+4xy+4y^2$，此时$k=4$；
当多项式为$(x-2y)^2$时，展开得$x^2-4xy+4y^2$，此时$k=-4$；
因此，$k$的值为$\pm4$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查完全平方公式的结构特征，关键是要牢记完全平方公式的两种形式，避免遗漏负号的情况，准确匹配公式中的各项是解题的核心。
【难度系数】
0.7
【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，解题核心是牢记完全平方和与完全平方差的展开公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。对于每个小题，我们可以将等式右边的完全平方式展开，或者直接对比完全平方公式的结构，找出等式左边缺失的项：
1. 第(1)题，对比$(a+b)^2$的展开式，直接确定中间缺失的项；
2. 第(2)题，对比$(a-b)^2$的展开式，注意中间项的符号特征；
3. 第(3)题，把$3$看作公式中的$b$，代入完全平方和公式展开后对比找出缺失项；
4. 第(4)题，把$2x$看作公式中的$a$，$5$看作公式中的$b$，代入完全平方差公式展开后对比找出缺失项。
【解析】
(1) 根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对比等式左边$a^2+\_\_\_\_\_\_+b^2$，可知横线处应填$2ab$；
(2) 根据完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对比等式左边$a^2-\_\_\_\_\_\_+b^2$，可知横线处应填$2ab$；
(3) 展开$(a+3)^2$：$(a+3)^2=a^2+2× a×3+3^2=a^2+6a+9$，对比等式左边$a^2+\_\_\_\_\_\_+9$，可知横线处应填$6a$；
(4) 展开$(2x-5)^2$：$(2x-5)^2=(2x)^2-2×2x×5+5^2=4x^2-20x+25$，对比等式左边$4x^2-\_\_\_\_\_\_+25$，可知横线处应填$20x$。
【答案】
(1) $2ab$ (2) $2ab$ (3) $6a$ (4) $20x$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，主要考查对完全平方和、完全平方差公式的记忆与理解。解题关键是准确匹配公式结构，明确展开式中各项的系数与符号关系，通过直接展开右边的完全平方式或对比公式结构即可快速得出答案，有助于夯实整式乘法的基础。
【难度系数】
0.9
【分析】
首先观察原式的特点，各项均带有负号，先提取负号将原式变形为$-(x^2 + 4xy + 4y^2)$；接着分析括号内的式子，$x^2$是$x$的平方，$4y^2$是$(2y)$的平方，中间项$4xy$恰好是$2× x×2y$，符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的形式，因此可利用完全平方公式对括号内的式子进行分解，最后整理得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}-x^2 - 4xy - 4y^2&=-(x^2 + 4xy + 4y^2)\\&=-[x^2 + 2· x· 2y + (2y)^2]\\&=-(x + 2y)^2\end{aligned}$
【答案】
$-(x + 2y)^2$
【知识点】
提公因式法、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题关键是先通过提取负号将原式转化为符合完全平方公式的形式，再利用公式分解，需注意符号的正确处理，避免因符号失误导致结果错误。
【难度系数】
0.8
【分析】
要判断这些多项式能否分解因式，我们主要依据完全平方公式的结构特征：对于二次三项式，若满足“首项为某个整式的平方，尾项为另一个整式的平方，中间项是这两个整式乘积的2倍（可正可负）”，即符合$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的形式，就能用完全平方公式分解因式，否则不能分解。接下来逐个分析：
1. 对于$a^2-4a+4$，首项是$a^2$，尾项是$2^2$，中间项$-4a=-2× a×2$，完全符合完全平方差公式的结构；
2. 对于$9a^2-3a+1$，首项是$(3a)^2$，尾项是$1^2$，中间项应为$\pm2×3a×1=\pm6a$，但原式中间项是$-3a$，不满足公式结构，不能分解；
3. 对于$4a^2+4a+1$，首项是$(2a)^2$，尾项是$1^2$，中间项$4a=2×2a×1$，符合完全平方和公式的结构；
4. 对于$a^2+ab+b^2$，首项$a^2$，尾项$b^2$，中间项应为$\pm2ab$，但原式中间项是$ab$，不满足公式结构，不能分解。
【解析】
（1）$a^2-4a+4$
该式符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的形式，其中首项底数为$a$，尾项底数为$2$，中间项为$-2× a×2$，因此：
$a^2-4a+4=a^2-2× a×2+2^2=(a-2)^2$
（2）$9a^2-3a+1$
该式为二次三项式，首项是$(3a)^2$，尾项是$1^2$，若要符合完全平方公式，中间项应为$\pm2×3a×1=\pm6a$，但原式中间项为$-3a$，不满足完全平方公式的结构特征，且无其他可分解的形式，故不能因式分解。
（3）$4a^2+4a+1$
该式符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的形式，其中首项底数为$2a$，尾项底数为$1$，中间项为$2×2a×1$，因此：
$4a^2+4a+1=(2a)^2+2×2a×1+1^2=(2a+1)^2$
（4）$a^2+ab+b^2$
该式为二次三项式，首项是$a^2$，尾项是$b^2$，若要符合完全平方公式，中间项应为$\pm2ab$，但原式中间项为$ab$，不满足完全平方公式的结构特征，且无其他可分解的形式，故不能因式分解。
【答案】
（1）$(a - 2)^2$；（2）不能因式分解；（3）$(2a + 1)^2$；（4）不能因式分解
【知识点】
完全平方公式因式分解、因式分解的判断
【点评】
本题核心考查完全平方公式在因式分解中的应用，关键是精准把握完全平方公式的结构特征：两个平方项符号相同，中间项是首尾两项底数乘积的2倍。判断时需严格对照公式，避免因忽略中间项的系数特征而误判。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这个问题，我们需要回忆完全平方公式的结构：完全平方公式有两种形式，分别是$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。题目中给出的式子是$a^2 + 16$，我们可以把$16$看作$4^2$，也就是两个平方项分别为$a^2$和$4^2$。接下来我们需要根据完全平方公式的结构，找出缺失的中间项（单项式）：
1. 当构造$(a+4)^2$时，展开后是$a^2 + 8a + 16$，对比原式$a^2 + 16$，需要添加的单项式是$8a$；
2. 当构造$(a-4)^2$时，展开后是$a^2 - 8a + 16$，对比原式$a^2 + 16$，需要添加的单项式是$-8a$。
综合这两种情况，符合条件的单项式是$\pm8a$，再结合选项判断即可得出答案。
【解析】
根据完全平方公式$(x\pm y)^2=x^2\pm2xy+y^2$：
已知$a^2 + 16 = a^2 + 4^2$，将其对应到完全平方公式中：
若组成$(a+4)^2$，则需要添加的单项式为$2× a×4=8a$；
若组成$(a-4)^2$，则需要添加的单项式为$-2× a×4=-8a$。
因此，这个单项式可以是$\pm8a$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题主要考查对完全平方公式结构的理解与应用，需要注意完全平方公式有和的平方与差的平方两种形式，解题时要考虑全面，避免遗漏其中一种情况。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决这道题，需先明确完全平方公式的两种形式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。题目中多项式$x^2+1+□$能直接用完全平方公式因式分解，需分两种情况讨论“□”的可能：
1. “□”为完全平方公式中的交叉项（$\pm2ab$）；
2. “□”为完全平方公式中的平方项（$a^2$或$b^2$）。
逐一验证每个选项是否符合上述情况，即可找出不可能的选项。
【解析】
完全平方公式的形式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对各选项分析如下：
选项A：当“□”为$2x$时，多项式为$x^2+2x+1=(x+1)^2$，符合完全平方公式，可因式分解；
选项B：当“□”为$-2x$时，多项式为$x^2-2x+1=(x-1)^2$，符合完全平方公式，可因式分解；
选项C：当“□”为$\frac{x^4}{4}$时，多项式为$\frac{x^4}{4}+x^2+1=(\frac{x^2}{2}+1)^2$，展开验证：$(\frac{x^2}{2})^2+2×\frac{x^2}{2}×1+1^2=\frac{x^4}{4}+x^2+1$，符合完全平方公式，可因式分解；
选项D：当“□”为$-\frac{x^4}{4}$时，多项式为$x^2+1-\frac{x^4}{4}=-(\frac{x^4}{4}-x^2-1)$，该式无法整理成$(a\pm b)^2$的形式，不能用完全平方公式因式分解。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，需要分类讨论“□”作为交叉项或平方项的两种情况，注重对公式结构的理解，避免遗漏情况，培养分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
【分析】
（1）本题考查完全平方差公式的逆用，完全平方差公式为$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。我们可先将等式右边的$(3a-5b)^2$展开，再对比等式左边的$9a^2+( )+25b^2$，即可确定缺失的项。其中公式中的$a$对应$3a$，$b$对应$5b$，计算中间交叉项即可得到结果。
（2）本题需先对左边式子提取负号进行变形，再结合完全平方公式配方。先把$-4x^2+4xy$提取负号转化为$-(4x^2-4xy)$，要让整个式子写成$-( )^2$的形式，需将括号内的部分配成完全平方式，结合完全平方公式的结构特征即可确定缺失的项和右边括号内的整式。
【解析】
（1）根据完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，展开等式右边：
$\begin{aligned}(3a-5b)^2&=(3a)^2-2·3a·5b+(5b)^2\\&=9a^2-30ab+25b^2\end{aligned}$
对比等式左边$9a^2+( )+25b^2$，可知缺失的项为$-30ab$。
（2）对左边式子提取负号变形：
$-4x^2+4xy+( )=-(4x^2-4xy-( ))$
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，其中$4x^2=(2x)^2$，$4xy=2·2x· y$，则$4x^2-4xy+y^2=(2x-y)^2$，因此$4x^2-4xy-(-y^2)=(2x-y)^2$。
代入可得：$-4x^2+4xy+(-y^2)=-(2x-y)^2$，即确定缺失的项分别为$-y^2$和$2x-y$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-30ab}$；（2）$\boldsymbol{-y^2}$，$\boldsymbol{2x - y}$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题核心考查完全平方公式的灵活运用，要求熟练掌握完全平方公式的结构特征，能正向展开、逆向配方，尤其要注意符号的正确处理，避免因符号失误导致错误。
【难度系数】
0.6
上一页 下一页