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16或-14
②④
解：原式= $(m-2n)^2$
解：原式= $(x - \frac{1}{2})^2$
解：原式= $-(x - 5y)^2$
解：原式= $(m - n - 2)^2$
解：原式= $(\frac{1}{3}m^2 + n)^2$
解：原式= $(2a + 5b - 3)^2$
解：原式= $(2x^2 - 2xy + y^2)(2x^2 + 2xy + y^2)$
解：原式= $(x - 2a - b)(x + b)$
【分析】
首先回忆完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。观察多项式$9x^2+2(m-1)x+25$，先将其与完全平方公式对应：$9x^2=(3x)^2$，$25=5^2$，因此该多项式可对应$(3x\pm5)^2$的形式。根据完全平方公式的中间项特征，中间项应为$\pm2×3x×5=\pm30x$，而题目中中间项为$2(m-1)x$，因此两者的系数相等，即$2(m-1)=\pm30$，分两种情况解方程即可求出$m$的值，注意不能遗漏其中一种情况。
【解析】
因为多项式$9x^2+2(m-1)x+25$能用完全平方公式因式分解，所以它符合完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$的结构。
1. 确定对应项：
$9x^2=(3x)^2$，$25=5^2$，即$a=3x$，$b=5$。
2. 根据完全平方公式中间项的特征，可得：
$2(m-1)x=\pm2×3x×5$
两边同时约去$x$（$x≠0$，多项式对应系数相等），得：
$2(m-1)=\pm30$
3. 分两种情况求解$m$：
当$2(m-1)=30$时，
两边除以2得：$m-1=15$，
解得：$m=16$；
当$2(m-1)=-30$时，
两边除以2得：$m-1=-15$，
解得：$m=-14$。
综上，$m$的值为16或-14。
【答案】
16 或 -14
【知识点】
完全平方公式，因式分解（公式法）
【点评】
本题考查完全平方公式的应用，解题关键是准确匹配完全平方公式的各项结构，牢记完全平方公式有和的平方与差的平方两种形式，避免漏解。
【难度系数】
0.6
【分析】
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，需先明确完全平方公式的结构特征：多项式为三项式，且符合$a^2\pm2ab+b^2$的形式（包含两个同号的平方项，中间项是这两个平方项底数乘积的2倍）。接下来逐个分析每个多项式：
1. 对于①，平方项$x^2$与$-y^2$符号相反，不符合“两个同号平方项”的要求；
2. 对于②，先提取负号变形为$-(x^2-2xy+y^2)$，括号内的式子符合$a^2-2ab+b^2$的结构；
3. 对于③，中间项为$xy$，而完全平方公式要求中间项为$2xy$，不满足系数要求；
4. 对于④，可变形为$1^2+2×1×\frac{x}{2}+(\frac{x}{2})^2$，完全符合$a^2+2ab+b^2$的结构。
综上，符合条件的是②和④。
【解析】
完全平方公式分解因式的结构为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，需满足多项式是三项式，且有两个同号的平方项，中间项为这两个平方项底数乘积的2倍。
①$x^{2}+2xy-y^{2}$：平方项$x^2$与$-y^2$异号，不符合完全平方公式的结构，不能用其分解；
②$-x^{2}+2xy-y^{2}=-(x^2-2xy+y^2)=-(x-y)^2$，符合完全平方公式的结构，可用其分解；
③$x^{2}+xy+y^{2}$：中间项$xy$不是$2xy$，不满足完全平方公式的中间项要求，不能用其分解；
④$1+x+\frac{x^{2}}{4}=1^2+2×1×\frac{x}{2}+(\frac{x}{2})^2=(1+\frac{x}{2})^2$，符合完全平方公式的结构，可用其分解。
因此，能用完全平方公式分解因式的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查完全平方公式分解因式的应用，解题关键是准确掌握完全平方公式的结构特征，注意区分平方项的符号以及中间项的系数是否符合要求，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
【分析】
本题所有小题均需利用完全平方公式进行因式分解，完全平方公式的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题思路如下：
1. 先观察式子结构，判断是否符合完全平方公式的特征；
2. 对于项的顺序不符合或带有负号的式子，先调整项的顺序或提取负号，将其转化为完全平方公式的标准形式；
3. 确定公式中的$a$和$b$（部分题目需将多项式整体看作$a$或$b$，运用整体思想）；
4. 套用完全平方公式完成因式分解。
各小题具体思路：
（1）式子$m^2 - 4mn + 4n^2$可直接对应$a^2-2ab+b^2$的形式，其中$a=m$，$b=2n$；
（2）先将式子$x^2+\frac{1}{4}-x$调整为$x^2 - x + \frac{1}{4}$，再对应完全平方公式，其中$a=x$，$b=\frac{1}{2}$；
（3）先提取负号将式子转化为$-(x^2 -10xy +25y^2)$，括号内符合完全平方公式，其中$a=x$，$b=5y$；
（4）把$(m-n)$看作整体，式子对应$a^2-2ab+b^2$的形式，其中$a=(m-n)$，$b=2$；
（5）式子$\frac{1}{9}m^4+\frac{2}{3}m^2n+n^2$可直接对应$a^2+2ab+b^2$的形式，其中$a=\frac{1}{3}m^2$，$b=n$；
（6）把$2(a+1)$和$5(b-1)$分别看作整体，式子对应$a^2+2ab+b^2$的形式，展开后整理即可。
【解析】
（1）$m^{2}-4 m n+4 n^{2}$
$=m^2 - 2· m· 2n + (2n)^2$
$=(m - 2n)^2$
（2）$x^{2}+\frac{1}{4}-x$
$=x^2 - x + \frac{1}{4}$
$=x^2 - 2· x· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$
$=(x - \frac{1}{2})^2$
（3）$10 x y-x^{2}-25 y^{2}$
$=-(x^2 - 10xy + 25y^2)$
$=-(x^2 - 2· x· 5y + (5y)^2)$
$=-(x - 5y)^2$
（4）$(m-n)^{2}-4(m-n)+4$
$=(m-n)^2 - 2· (m-n)· 2 + 2^2$
$=[(m-n)-2]^2$
$=(m - n - 2)^2$
（5）$\frac{1}{9} m^{4}+\frac{2}{3} m^{2} n+n^{2}$
$=(\frac{1}{3}m^2)^2 + 2· \frac{1}{3}m^2· n + n^2$
$=(\frac{1}{3}m^2 + n)^2$
（6）$4(a+1)^{2}+20(a+1)(b-1)+25(b-1)^{2}$
$=[2(a+1)]^2 + 2· 2(a+1)· 5(b-1) + [5(b-1)]^2$
$=[2(a+1)+5(b-1)]^2$
$=(2a + 2 + 5b - 5)^2$
$=(2a + 5b - 3)^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(m - 2n)^2}$；(2) $\boldsymbol{( x - \frac{1}{2} )^2}$；(3) $\boldsymbol{-(x - 5y)^2}$；(4) $\boldsymbol{(m - n - 2)^2}$；(5) $\boldsymbol{( \frac{1}{3} m^2 + n )^2}$；(6) $\boldsymbol{(2a + 5b - 3)^2}$
【知识点】
完全平方公式，因式分解，整体思想
【点评】
本题重点考查完全平方公式在因式分解中的应用，需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，同时学会运用整体思想将复杂多项式看作一个整体进行因式分解。部分题目需先调整项的顺序或提取负号，再套用公式，对公式的理解和灵活运用能力有一定要求，有助于提升学生对因式分解方法的掌握程度。
【难度系数】
0.6
【分析】
对于（1），观察式子$4x^4+y^4$，它是两项的平方和形式，与题目给出的$x^4+4$结构类似，可模仿苏菲·热尔曼的做法，添加一项$4x^2y^2$同时再减去该项，先凑出完全平方公式，再利用平方差公式分解因式。
对于（2），式子$x^2-2ax-b^2-2ab$包含四项，先将含$x$的项分组，给$x^2-2ax$添加$a^2$凑成完全平方，同时减去$a^2$，将原式转化为两个完全平方的差的形式，再利用平方差公式分解。
【解析】
（1）$4x^4 + y^4$
$= 4x^4 + 4x^2y^2 + y^4 - 4x^2y^2$
$=(2x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2$
$=(2x^2 + y^2 + 2xy)(2x^2 + y^2 - 2xy)$
（2）$x^2 - 2ax - b^2 - 2ab$
$=x^2 - 2ax + a^2 - a^2 - b^2 - 2ab$
$=(x - a)^2 - (a^2 + 2ab + b^2)$
$=(x - a)^2 - (a + b)^2$
$=(x - a + a + b)(x - a - (a + b))$
$=(x + b)(x - 2a - b)$
【答案】
（1）$\boldsymbol{(2x^2 + y^2 + 2xy)(2x^2 + y^2 - 2xy)}$；
（2）$\boldsymbol{(x + b)(x - 2a - b)}$
【知识点】
添项法分解因式、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的特殊技巧，核心是通过添项凑出完全平方结构，再结合平方差公式完成分解。需要熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征，学会观察式子特点，灵活运用添项、分组的方法转化式子，这类技巧是因式分解的重点内容，需通过练习加深理解。
【难度系数】
0.5
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