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C
D
A
$x^3 - 2x^2 + x$
$x(x - 1)^2$
解：原式= $2a(x - y^2)(x + y^2)$
解：原式= $3a(x + y)^2$
解：原式= $(a + b)(1 - a)(1 + a)$
解：原式= $-xy(x - 3)^2$
解：原式= $(x - y)(3a - 2b)(3a + 2b)$
解：原式= $(x - 3)^2(x + 3)^2$
C
B
【分析】
要分解多项式$x^3 - 5x$，需遵循因式分解的基本步骤：先提取公因式，再看剩余部分是否能继续分解。首先观察多项式的两项$x^3$和$-5x$，它们的公因式是$x$，先提取公因式得到$x(x^2 - 5)$；接着分析$x^2 - 5$，它可变形为$x^2 - (\sqrt{5})^2$，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的形式，因此可以继续分解；最后对比选项，A选项未分解彻底，B选项错误将$5$当作$25$使用平方差公式，D选项未提取公因式且分解错误，只有C选项是正确的彻底分解结果。
【解析】
分解因式$x^3 - 5x$的步骤如下：
1. 提取公因式$x$：
$x^3 - 5x = x(x^2 - 5)$
2. 将$x^2 - 5$变形为平方差形式，利用平方差公式分解：
因为$5 = (\sqrt{5})^2$，所以$x^2 - 5 = x^2 - (\sqrt{5})^2$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$x^2 - (\sqrt{5})^2 = (x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5})$
3. 综上，分解结果为：
$x^3 - 5x = x(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5})$
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的综合应用，解题关键是牢记因式分解的顺序：先提公因式，再用公式法，且分解要彻底。需注意在实数范围内，$x^2 - 5$可利用平方差公式继续分解，避免因分解不彻底或公式误用选错答案。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决这道题，我们的思路是将每个选项中的多项式进行因式分解，然后逐一判断分解结果中是否含有因式$x - 1$，最终找出不含该因式的选项。具体来说，我们需要根据不同多项式的特点，选择合适的因式分解方法，比如平方差公式、完全平方公式、提取公因式法等。
【解析】
对各选项逐一分解因式：
选项A：$x^2 - 1$是平方差形式，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^2 - 1=(x+1)(x - 1)$，结果中含有因式$x - 1$。
选项B：先对式子变形，$x(x - 2)+(2 - x)=x(x - 2)-(x - 2)$，然后提取公因式$x - 2$，可得$(x - 2)(x - 1)$，结果中含有因式$x - 1$。
选项C：$x^2 - 2x + 1$是完全平方形式，根据完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$，可得$x^2 - 2x + 1=(x - 1)^2$，结果中含有因式$x - 1$。
选项D：$x^2 + 2x + 1$是完全平方形式，根据完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2$，可得$x^2 + 2x + 1=(x + 1)^2$，结果中不含因式$x - 1$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，提取公因式法
【点评】
本题主要考查因式分解的基本方法，涵盖了平方差公式、完全平方公式以及提取公因式法的应用，属于基础题型，旨在考查学生对因式分解核心方法的掌握程度，只要熟练掌握相关公式和技巧，就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先观察待求式$mna^2 - mnb^2$的结构，发现可通过因式分解简化计算。先提取公因式$mn$，再利用平方差公式对$a^2 - b^2$分解，将式子转化为含已知条件$mn$、$a+b$、$a-b$的形式，最后代入已知数值计算即可，该方法比直接求解$a$、$b$再代入更简便，能减少计算误差。
【解析】
解：对$mna^2 - mnb^2$进行因式分解并代入计算：
1. 提取公因式$mn$：
$mna^2 - mnb^2 = mn(a^2 - b^2)$
2. 利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$分解：
$mn(a^2 - b^2)=mn(a+b)(a-b)$
3. 代入已知条件$mn = 3$，$a + b = 4$，$a - b = 5$：
原式$=3×4×5=60$
因此$mna^2 - mnb^2$的值是60，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，因式分解，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解的应用，通过提取公因式和平方差公式将待求式转化为已知条件的组合形式，运用整体代入思想简化计算，避免了求解$a$、$b$的繁琐步骤，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
【分析】
要写出满足条件的三项式，需结合因式分解的两种方法：提公因式法和公式法。首先，公式法中适合三项式的常用完全平方公式（$a²±2ab+b²=(a±b)²$），我们可以给完全平方公式的每一项都乘一个不为0的公因式$n$，这样得到的三项式$na²+2nab+nb²$，第一步可提取公因式$n$，剩下的部分$a²+2ab+b²$正好符合完全平方和公式的形式，再用公式法分解即可。也可构造其他类似形式，答案不唯一。
【解析】
以三项式$ na^{2}+2nab+nb^{2} $为例，因式分解步骤如下：
1. 提公因式：提取各项的公因式$n$，得到$ n(a^{2}+2ab+b^{2}) $；
2. 运用完全平方公式：因为$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$，代入后得到$ n(a+b)^{2} $。
【答案】
答案不唯一，如三项式是 $ na^{2}+2nab+nb^{2} $，因式分解的结果是 $ n(a+b)^{2} $
【知识点】
提公因式法因式分解、完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解方法的综合运用，关键是理解提公因式法和公式法的适用条件，构造出同时满足两种分解步骤的多项式。答案具有开放性，只要符合先提公因式再用公式法分解的三项式均可，有助于提升对因式分解方法的综合应用能力。
【难度系数】
0.8
【分析】
本题考查因式分解，解题思路是先观察每个式子是否有公因式，若有则先提取公因式，再看剩余部分是否符合平方差公式或完全平方公式，继续分解，直到不能再分解为止。
（1）先提取公因式$2a$，剩余部分是$x^2 - y^4$，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，其中$a=x$，$b=y^2$，继续分解；
（2）先提取公因式$3a$，剩余部分是$x^2 + 2xy + y^2$，符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=x$，$b=y$，继续分解；
（3）先提取公因式$(a+b)$，剩余部分是$1 - a^2$，符合平方差公式，继续分解；
（4）先提取公因式$-xy$，剩余部分是$x^2 - 6x + 9$，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=3$，继续分解；
（5）先将$y - x$变形为$-(x - y)$，使式子出现公因式$(x - y)$，提取后剩余部分是$9a^2 - 4b^2$，符合平方差公式，继续分解；
（6）把$x^2$看作整体，式子符合完全平方差公式，得到$(x^2 - 9)^2$，再对$x^2 - 9$用平方差公式继续分解。
【解析】
（1）$2ax^2 - 2ay^4$
$=2a(x^2 - y^4)$（提取公因式$2a$）
$=2a(x - y^2)(x + y^2)$（利用平方差公式分解$x^2 - y^4$）
（2）$3ax^2 + 6axy + 3ay^2$
$=3a(x^2 + 2xy + y^2)$（提取公因式$3a$）
$=3a(x + y)^2$（利用完全平方和公式分解$x^2 + 2xy + y^2$）
（3）$(a + b) - a^2(a + b)$
$=(a + b)(1 - a^2)$（提取公因式$(a + b)$）
$=(a + b)(1 - a)(1 + a)$（利用平方差公式分解$1 - a^2$）
（4）$-x^3y + 6x^2y - 9xy$
$=-xy(x^2 - 6x + 9)$（提取公因式$-xy$）
$=-xy(x - 3)^2$（利用完全平方差公式分解$x^2 - 6x + 9$）
（5）$9a^2(x - y) + 4b^2(y - x)$
$=9a^2(x - y) - 4b^2(x - y)$（将$y - x$变形为$-(x - y)$）
$=(x - y)(9a^2 - 4b^2)$（提取公因式$(x - y)$）
$=(x - y)(3a + 2b)(3a - 2b)$（利用平方差公式分解$9a^2 - 4b^2$）
（6）$x^4 - 18x^2 + 81$
$=(x^2 - 9)^2$（将$x^2$看作整体，利用完全平方差公式分解）
$=[(x + 3)(x - 3)]^2$（利用平方差公式分解$x^2 - 9$）
$=(x + 3)^2(x - 3)^2$（整理得到最终结果）
【答案】
(1) $\boldsymbol{2a(x - y^{2})(x + y^{2})}$；
(2) $\boldsymbol{3a(x + y)^{2}}$；
(3) $\boldsymbol{(a + b)(1 - a)(1 + a)}$；
(4) $\boldsymbol{-xy(x - 3)^{2}}$；
(5) $\boldsymbol{(x - y)(3a + 2b)(3a - 2b)}$；
(6) $\boldsymbol{(x + 3)^{2}(x - 3)^{2}}$
【知识点】
1. 提取公因式法；
2. 平方差公式因式分解；
3. 完全平方公式因式分解
【点评】
本题涵盖了因式分解的基本方法，包括提取公因式法、平方差公式法和完全平方公式法，需要注意先提公因式再用公式，对于符号不同的因式要先变形统一，分解要彻底，直到不能再分解为止，考查了对因式分解方法的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先观察等式左右两边的形式，左边是两个同底数幂的差，优先考虑提取公因式进行化简；然后利用平方差公式对提取公因式后的剩余部分进一步分解，将左边式子转化为与右边结构一致的形式；最后通过对比等式两边对应项的指数，即可求出n的值。
【解析】
对等式左边进行化简：
$\begin{aligned}2023^{2026} - 2023^{2024}&=2023^{2024} × (2023^2 - 1)\\&=2023^{2024} × (2023 + 1)(2023 - 1)\\&=2023^{2024} × 2024 × 2022\end{aligned}$
已知等式右边为$2024 × 2023^n × 2022$，根据等式两边对应项相等，可得$n=2024$。
【答案】
C
【知识点】
1. 提取公因式法
2. 平方差公式
3. 同底数幂的运算
【点评】
本题考查因式分解与幂的运算的综合应用，解题核心是通过提取公因式和平方差公式将左边式子转化为与右边匹配的形式，进而通过对应项对比求出未知指数，需要学生熟练掌握基本的因式分解方法和幂的运算性质，属于基础偏中等难度的题目。
【难度系数】
0.7
【分析】
要解决这道题，需先明确密码生成规则：先将多项式因式分解为多个因式的乘积形式，代入x的值计算每个因式的结果，再将结果按顺序组合得到密码。首先对多项式$x^3 - x$进行因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解，最后代入x=14计算各因式的值，匹配选项即可。
【解析】
1. 对多项式$x^3 - x$进行因式分解：
第一步，提取公因式$x$：
$x^3 - x = x(x^2 - 1)$
第二步，利用平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，对$x^2 - 1$继续分解：
$x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)$
2. 代入$x=14$计算各因式的值：
$x=14$，$x-1=14-1=13$，$x+1=14+1=15$
3. 将结果组合，得到的密码可以是141315，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，关键是熟练掌握提公因式法和平方差公式进行因式分解的方法，通过因式分解将多项式转化为因式乘积形式，再代入数值生成密码，体现了因式分解的实用价值。
【难度系数】
0.8
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