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C
$-3x(x + y)^2$
$7m(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$
0
解：原式= $(y - 2)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$
解：原式= $(2 - y)^2(2 + y)^2$
解：原式= $(x + \frac{5}{2})^2$
解：原式= $2(x^2 + 2x - 4)$
C
否
$(x - 2)^4$
解：设​$x²-2x=y$​
原式​$=y(y+2)+1$​
​$=y²+2y+1$​
​$=(y+1)²$​
​$=(x²-2x+1)²$​
​$=[(x-1)²]²$​
​$=(x-1)^4$​
【分析】
要判断△ABC的形状，需从给定等式推导三边关系。观察等式$a^2 - b^2 - ac + bc = 0$，可通过分组因式分解处理：先将前两项、后两项分别分组，前两项用平方差公式分解，后两项提取公因式，再提取整体公因式得到乘积为0的形式；结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除不可能为0的因式，进而得出两边相等的结论，判断三角形形状。
【解析】
对等式$a^2 - b^2 - ac + bc = 0$进行因式分解：
1. 分组变形：
$\quad (a^2 - b^2) + (-ac + bc) = 0$
2. 分别分解每组：
$\quad (a - b)(a + b) - c(a - b) = 0$
3. 提取公因式$(a - b)$：
$\quad (a - b)(a + b - c) = 0$
根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，即$a + b ＞ c$，所以$a + b - c ≠ 0$。
因此只能$a - b = 0$，即$a = b$。
所以△ABC是等腰三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解，等腰三角形判定，三角形三边关系
【点评】
本题考查因式分解的应用及等腰三角形的判定，解题核心是通过因式分解将等式转化为边的等量关系，同时结合三角形三边关系排除无效情况，注重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.8
【分析】
对于因式分解题目，遵循“一提二套三检查”的步骤：先提取公因式，再套用合适的乘法公式（平方差、完全平方等），最后检查是否分解彻底。
(1) 观察式子$-3x^3 - 3xy^2 - 6x^2y$，首先确定各项公因式为$-3x$；提取公因式后剩余部分$x^2 + y^2 + 2xy$符合完全平方公式的形式，可进一步分解。
(2) 式子$7ma^4 - 7mb^4$，先提取公因式$7m$，剩余的$a^4 - b^4$是平方差形式，先分解为$(a^2+b^2)(a^2-b^2)$，其中$a^2 - b^2$还能继续用平方差公式分解，确保分解彻底。
【解析】
(1) 分解$-3x^3 - 3xy^2 - 6x^2y$：
① 提取公因式$-3x$：
$\begin{aligned}-3x^3 - 3xy^2 - 6x^2y&=-3x(x^2 + y^2 + 2xy)\end{aligned}$
② 利用完全平方公式分解括号内的式子：
因为$x^2 + 2xy + y^2=(x+y)^2$，所以：
$\begin{aligned}-3x(x^2 + y^2 + 2xy)&=-3x(x+y)^2\end{aligned}$
(2) 分解$7ma^4 - 7mb^4$：
① 提取公因式$7m$：
$\begin{aligned}7ma^4 - 7mb^4&=7m(a^4 - b^4)\end{aligned}$
② 利用平方差公式分解$a^4 - b^4$：
$\begin{aligned}7m(a^4 - b^4)&=7m[(a^2)^2 - (b^2)^2]\\&=7m(a^2 + b^2)(a^2 - b^2)\end{aligned}$
③ 继续利用平方差公式分解$a^2 - b^2$：
$\begin{aligned}7m(a^2 + b^2)(a^2 - b^2)&=7m(a^2 + b^2)(a + b)(a - b)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3x(x + y)^{2}}$；(2) $\boldsymbol{7m(a^{2} + b^{2})(a + b)(a - b)}$
【知识点】
1. 提取公因式法
2. 完全平方公式因式分解
3. 平方差公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的核心方法，需严格遵循“先提公因式，再套公式，最后检查分解彻底性”的步骤。注意首项为负时提取负公因式，同时要确保每个因式都不能再分解，如第(2)题中$a^2 + b^2$无法继续分解，而$a^2 - b^2$必须分解到最简形式。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先观察已知等式的结构，它是关于x、y、z的二次多项式，可通过配方法将其转化为完全平方和的形式。由于完全平方数具有非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，由此可求出x、y、z的具体值，最后代入所求式子计算即可。
【解析】
对已知等式进行配方：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 14 &= 0\\(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + (z^2 - 6z + 9) &= 0\\(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 &= 0\end{aligned}$
因为完全平方数是非负数，即$(x - 1)^2 ≥ 0$，$(y + 2)^2 ≥ 0$，$(z - 3)^2 ≥ 0$，它们的和为0，所以：
$\begin{cases}x - 1 = 0\\y + 2 = 0\\z - 3 = 0\end{cases}$
解得$x = 1$，$y = -2$，$z = 3$。
将$x$、$y$、$z$的值代入$(x - y - z)^{2025}$：
$x - y - z = 1 - (-2) - 3 = 0$
则$(x - y - z)^{2025} = 0^{2025} = 0$。
【答案】
0
【知识点】
配方法，非负数的性质，有理数乘方
【点评】
本题主要考查配方法的应用与非负数的性质，核心是通过配方将已知等式转化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求出x、y、z的值，进而代入计算。解题时需熟练掌握完全平方公式的结构，确保配方准确。
【难度系数】
0.7
【分析】
本题是因式分解的综合题，需根据每个式子的特征，灵活运用提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）及配方法/求根公式法分解因式，具体思路如下：
（1）先将式子中的相反数项变形，构造公因式，提取公因式后再用平方差公式继续分解；
（2）先统一式子中的同类项形式，把$(y^2-1)$转化为$-(1-y^2)$，再将$(1-y^2)$看作整体用完全平方公式分解，最后对结果再次用平方差公式分解；
（3）先展开多项式乘法，合并同类项后，观察式子特征用完全平方公式分解；
（4）先提取公因式，再对剩余二次三项式用求根公式法结合平方差公式分解。
【解析】
（1）$x^2(y - 2) + 3(2 - y)$
$=x^2(y - 2) - 3(y - 2)$（将$3(2-y)$变形为$-3(y-2)$，构造公因式$(y-2)$）
$=(y - 2)(x^2 - 3)$（提取公因式$(y-2)$）
$=(y - 2)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$（利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x$，$b=\sqrt{3}$）
（2）$(1 - y^2)^2 - 6(y^2 - 1) + 9$
$=(1 - y^2)^2 + 6(1 - y^2) + 9$（将$-6(y^2-1)$变形为$+6(1-y^2)$，统一式子形式）
$=[(1 - y^2) + 3]^2$（把$(1-y^2)$看作整体，利用完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=1-y^2$，$b=3$）
$=(4 - y^2)^2$（合并括号内的项）
$=[(2 + y)(2 - y)]^2$（利用平方差公式分解$4-y^2$）
$=(2 + y)^2(2 - y)^2$（根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$）
（3）$(x + 2)(x + 3) + \frac{1}{4}$
$=x^2 + 3x + 2x + 6 + \frac{1}{4}$（展开多项式乘法）
$=x^2 + 5x + \frac{25}{4}$（合并同类项，$6+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$）
$=(x + \frac{5}{2})^2$（利用完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=x$，$b=\frac{5}{2}$）
（4）$2x^2 + 4x - 8$
$=2(x^2 + 2x - 4)$（提取公因式2）
对于二次三项式$x^2 + 2x - 4$，令$x^2 + 2x - 4=0$，由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（其中$a=1$，$b=2$，$c=-4$），得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4×1×(-4)}}{2×1}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$
所以$x^2 + 2x - 4=(x + 1 + \sqrt{5})(x + 1 - \sqrt{5})$
因此原式$=2(x + 1 + \sqrt{5})(x + 1 - \sqrt{5})$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(y - 2)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})}$；
(2) $\boldsymbol{(2 + y)^{2}(2 - y)^{2}}$；
(3) $\boldsymbol{(x + \frac{5}{2})^{2}}$；
(4) $\boldsymbol{2(x + 1 + \sqrt{5})(x + 1 - \sqrt{5})}$
【知识点】
1. 提取公因式法分解因式；
2. 公式法分解因式；
3. 求根公式法分解因式。
【点评】
本题考查因式分解多种方法的综合运用，需熟练掌握提取公因式、平方差公式、完全平方公式的特征，对于非标准形式的二次三项式，要学会通过变形构造分解条件，且分解需进行到不能再分解为止。
【难度系数】
0.4
【分析】
(1) 观察小明第二步到第三步的变形：第二步得到$y^2 + 8y + 16$，第三步变形为$(y + 4)^2$，对比完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，这里$a=y$，$b=4$，$2ab=8y$，符合两数和的完全平方公式的形式，因此可确定对应的因式分解方法。
(2) 小明最终的结果是$(x^2 - 4x + 4)^2$，其中$x^2 - 4x + 4$还能利用完全平方公式继续分解为$(x-2)^2$，所以原结果不彻底，需进一步分解得到最终结果。
(3) 仿照小明的换元法，先设$x^2 - 2x = y$，将原多项式转化为关于$y$的整式，展开后利用完全平方公式因式分解，再把$y$代回原多项式，最后检查并将能继续分解的因式分解完全。
【解析】
(1) 第二步的式子$y^2 + 8y + 16$变形为第三步的$(y + 4)^2$，符合两数和的完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，因此运用了两数和的完全平方公式，选C。
(2) 小明因式分解的结果$(x^2 - 4x + 4)^2$中，$x^2 - 4x + 4=(x-2)^2$，还可以继续分解，所以结果不彻底，最终结果为$(x - 2)^4$。
(3) 设$x^2 - 2x = y$，
原式$= y(y + 2) + 1$
$= y^2 + 2y + 1$
$= (y + 1)^2$
$= (x^2 - 2x + 1)^2$
$= (x - 1)^4$
【答案】
(1) C
(2) 否，$(x - 2)^{4}$
(3) $(x - 1)^{4}$
【知识点】
换元法因式分解、完全平方公式因式分解
【点评】
本题借助换元法简化了复杂多项式的因式分解过程，考查了对因式分解方法的掌握，同时强调因式分解需进行到每一个因式都不能再分解为止，确保分解彻底。
【难度系数】
0.7
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