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B
D
D
A
C
B
B
4(m-3)(m+3)
3
-2
±24
3
解：原式= -2b(2b - a)
解：原式= (m-2)²(m+2)²
解：原式= x²(x-2)(x+2)
解：原式= (t-1)²(t² + 2t - 1)
【分析】
要判断哪个变形是因式分解，首先需明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。接下来逐个分析选项：
1. 选项A、C是从整式的积转化为多项式，属于整式乘法，与因式分解的变形方向相反；
2. 选项D的结果是整式和的形式，不是积的形式，不符合因式分解要求；
3. 选项B将多项式转化为几个整式的积的形式，符合因式分解的定义。
【解析】
根据因式分解的定义，对各选项逐一判断：
选项A：$a(x - y) = ax - ay$，是把整式的积展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
选项B：$x^{3} - x = x(x^2 - 1) = x(x + 1)(x - 1)$，将多项式$x^3 - x$化为整式$x$、$(x+1)$、$(x-1)$的积的形式，符合因式分解的定义；
选项C：$(x + 1)(x + 3) = x^{2} + 4x + 3$，是把整式的积展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
选项D：$x^{2} + 2x + 1 = x(x + 2) + 1$，右边是整式和的形式，不是整式的积，不符合因式分解的定义。
综上，只有选项B的变形是因式分解。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义，提公因式法，平方差公式
【点评】
本题核心考查因式分解的概念辨析，关键是准确区分因式分解与整式乘法：因式分解是多项式到整式积的变形，整式乘法则相反，且因式分解的结果必须是几个整式的积的形式，不能含和的部分。
【难度系数】
0.8
【分析】
要确定多项式各项的公因式，需分两步进行：首先找各项系数的最大公约数，再找各项中相同字母的最低次幂，最后将两者相乘得到公因式。
1. 先看系数：12和8的最大公约数是4；
2. 再看字母：多项式两项都含有的字母是a和b，a在两项中的最低次数是1次，b在两项中的最低次数是1次，字母c只在第一项中出现，不属于公因式的部分；
3. 综上，将系数的最大公约数与相同字母的最低次幂相乘，得到公因式为4ab，对应选项D。
【解析】
步骤1：确定系数的最大公约数
多项式各项系数为12和8，12的约数有1、2、3、4、6、12，8的约数有1、2、4、8，两者的最大公约数是4。
步骤2：确定相同字母的最低次幂
多项式两项分别为$12ab^{3}c$和$8a^{3}b$，两项都含有的字母是a和b：
a的次数在第一项中是1，第二项中是3，最低次幂为$a^1=a$；
b的次数在第一项中是3，第二项中是1，最低次幂为$b^1=b$；
字母c仅在第一项中存在，不属于公因式的组成部分。
步骤3：组合得到公因式
将系数的最大公约数与相同字母的最低次幂相乘，即$4 × a × b = 4ab$，所以各项的公因式是4ab，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定
【点评】
本题考查公因式的确定方法，核心要点是“系数取最大公约数，相同字母取最低次幂”，需注意公因式仅包含所有项都含有的字母及其最低次幂，单独一项含有的字母不能纳入公因式。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这道因式分解题，需遵循因式分解的基本步骤：先提取公因式，再看剩余部分能否用公式法继续分解。首先观察多项式$x - x^3$，各项都含有公因式$x$，先提取公因式；提取后得到$1 - x^2$，它符合平方差公式的形式，需要进一步分解，最后对比选项选出正确结果。需注意因式分解要分解到不能再分解为止，同时关注符号问题，避免因符号错误选错答案。
【解析】
对多项式$x - x^3$进行因式分解：
1. 提取公因式$x$：
$x - x^3 = x(1 - x^2)$
2. 利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$分解$1 - x^2$（其中$a=1$，$b=x$）：
$1 - x^2 = 1^2 - x^2 = (1+x)(1-x)$
3. 综上，最终分解结果为：
$x - x^3 = x(1+x)(1-x)$
对比选项，只有D选项符合。
【答案】
D
【知识点】
提取公因式法，平方差公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，重点在于因式分解要彻底，同时需注意平方差公式应用时的符号问题。部分同学容易因分解不彻底选择B选项，或因符号错误选择C选项，解题时需仔细检查每一步的变形。
【难度系数】
0.7
【分析】
首先观察已知等式与所求代数式的结构特征，发现所求代数式的前三项可提取公因式$a$，变形为$a(a^{2} - 2a - 3)$，这部分恰好包含已知等式中的$a^{2} - 2a - 3$。利用整体代入的思想，将已知条件$a^{2} - 2a - 3 = 0$代入变形后的式子，即可快速求出结果，避免直接求解$a$的值带来的繁琐计算。
【解析】
解：已知$a^{2} - 2a - 3 = 0$，对$a^{3} - 2a^{2} - 3a + 5$进行变形：
$\begin{aligned}a^{3} - 2a^{2} - 3a + 5&=a(a^{2} - 2a - 3) + 5\\&=a×0 + 5\\&=0 + 5\\&=5\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
1. 提取公因式法；2. 整体代入求值
【点评】
本题考查代数式化简求值，通过提取公因式将所求式子转化为含已知等式的形式，运用整体代入思想简化运算，凸显了整体思想在代数计算中的便捷性，题目侧重对基础运算技巧和思想方法的考查。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先观察算式，两个幂的指数相近，可利用幂的运算性质转化计算。先根据负数的奇次幂为负，将$(-2)^{2023}$拆分为$(-2)^{2022}×(-2)$；再利用负数的偶次幂为正，得到$(-2)^{2022}=2^{2022}$，此时两项含有公因式$2^{2022}$，提取公因式后即可简化运算得出结果。
【解析】
解：$2^{2022} + (-2)^{2023}$
$=2^{2022} + (-2)^{2022}×(-2)$（逆用同底数幂的乘法法则：$a^{m+n}=a^m·a^n$）
$=2^{2022} + 2^{2022}×(-2)$（负数的偶次幂为正，即$(-2)^{2022}=2^{2022}$）
$=2^{2022}×[1 + (-2)]$（提取公因式$2^{2022}$）
$=2^{2022}×(-1)$
$=-2^{2022}$
因此计算结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
负数的幂运算、同底数幂乘法、提公因式简化运算
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，核心是通过拆分指数将复杂幂式转化为可提取公因式的形式，解题时需注意负数幂的符号规律，避免因符号错误导致结果出错，属于基础运算题型。
【难度系数】
0.7
【分析】
要判断$m$的取值范围，可通过配方法将多项式转化为完全平方和的形式：先把$m$中关于$x$的项、关于$y$的项分别分组，再利用完全平方公式进行配方，结合完全平方的非负性（任何有理数的平方都为非负数），即可确定$m$的取值情况。具体来说，对$x^2+4x$配成$(x+2)^2-4$，对$9y^2-12y$配成$(3y-2)^2-4$，再代入原式化简，最后根据非负数的和的性质判断$m$的取值。
【解析】
对$m = x^{2} + 9y^{2} + 4x - 12y + 8$进行配方：
1. 分组整理：
$m=(x^2 + 4x)+(9y^2 - 12y)+8$
2. 分别配方：
根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，对$x^2 + 4x$配方得：
$x^2 + 4x=(x+2)^2 - 4$
对$9y^2 - 12y=(3y)^2 - 2×3y×2$配方得：
$9y^2 - 12y=(3y-2)^2 - 4$
3. 代入原式化简：
$m=(x+2)^2 - 4 + (3y-2)^2 - 4 + 8$
计算常数项：$-4-4+8=0$，因此：
$m=(x+2)^2 + (3y-2)^2$
4. 分析取值：
因为$x$，$y$为有理数，所以$(x+2)^2≥0$，$(3y-2)^2≥0$，则$m=(x+2)^2 + (3y-2)^2≥0$，即$m$一定不是负数。
【答案】
B
【知识点】
配方法，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题考查配方法的应用与非负数的性质，核心是通过配方法将复杂的二次多项式转化为完全平方和的形式，利用完全平方的非负性判断代数式的取值范围。解题时需熟练掌握配方法的步骤，准确运用完全平方公式，理解非负数的和仍为非负数的性质。
【难度系数】
0.7
【分析】
要解决这个问题，我们需要将$3^{18}-1$进行因式分解，找出其30以内的两位因数，再匹配选项。首先，$3^{18}-1$可看作平方差形式，后续还可结合立方和、立方差公式逐步分解，通过分解得到的因数，筛选出30以内的两位数，即可确定符合条件的选项。
【解析】
对$3^{18}-1$进行因式分解：
1. 利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，将$3^{18}-1$变形为：
$3^{18}-1=(3^9)^2-1^2=(3^9-1)(3^9+1)$
2. 对$3^9-1$利用立方差公式$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$（其中$a=3^3=27$，$b=1$）：
$3^9-1=(3^3)^3-1^3=(27-1)(27^2+27×1+1^2)=26×757$
3. 对$3^9+1$利用立方和公式$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$（其中$a=3^3=27$，$b=1$）：
$3^9+1=(3^3)^3+1^3=(27+1)(27^2-27×1+1^2)=28×703$
因此，$3^{18}-1=26×757×28×703$，其中26、28均为30以内的两位数，所以这个两位数可能是28、26。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，立方和与立方差公式，整除的性质
【点评】
本题重点考查因式分解公式的综合运用，需要熟练掌握平方差、立方和与立方差公式，通过逐步分解多项式来寻找符合条件的因数，培养因式分解的应用意识和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先观察多项式$4m^2 - 36$，第一步先寻找各项的公因式，$4m^2$和36的最大公因式是4，先提取公因式4，得到$4(m^2 - 9)$；接着发现括号内的$m^2 - 9$符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的形式，其中$a=m$，$b=3$，再对$m^2 - 9$进行因式分解，最终得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}4m^2 - 36&=4(m^2 - 9)\\&=4(m^2 - 3^2)\\&=4(m + 3)(m - 3)\end{aligned}$
【答案】
$4(m + 3)(m - 3)$
【知识点】
提取公因式法，平方差公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，是基础题型。解题时需遵循“先提公因式，再用公式”的原则，确保因式分解彻底，避免只提取公因式就停止分解的错误。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用因式分解与多项式乘法的互逆关系来思考：
1. 因式分解和多项式乘法是互逆运算，将分解后的整式$(x - 1)(x + b)$展开，结果应与原二次三项式$x^2 - kx - 3$完全相同；
2. 先将$(x - 1)(x + b)$展开为标准二次三项式形式，再根据“两个多项式相等时，同类项的对应系数必须相等”的性质，分别对比常数项和一次项系数，列出关于$b$和$k$的方程，进而求解。
【解析】
1. 展开右边的整式乘积：
$ (x - 1)(x + b) = x^2 + bx - x - b = x^2 + (b - 1)x - b $
2. 由于$x^2 - kx - 3 = (x - 1)(x + b)$，根据多项式相等的系数对应相等原则：
对比常数项：$-b = -3$，解得$b = 3$；
对比一次项系数：$b - 1 = -k$，将$b = 3$代入得：$3 - 1 = -k$，即$2 = -k$，解得$k = -2$。
【答案】
3，-2
【知识点】
多项式乘法、因式分解逆用、系数对应相等
【点评】
本题考查因式分解与多项式乘法的互逆关系，核心是利用多项式相等时同类项系数对应相等的性质求解参数，属于基础题型，需熟练掌握多项式乘法法则，注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这个问题，我们需要利用完全平方式的结构特征分析：
1. 首先回忆完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，完全平方式有$(a+b)^2$和$(a-b)^2$两种形式；
2. 将给定式子$4x^2 + mx + 36$与公式对应：$4x^2=(2x)^2$，对应公式中的$a^2$，即$a=2x$；$36=6^2$，对应公式中的$b^2$，即$b=6$；
3. 完全平方式的中间项为$\pm2ab$，对应原式的$mx$，由此可计算出$m$的值，注意不要遗漏两种形式的符号。
【解析】
因为$4x^2 + mx + 36$是完全平方式，根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$：
1. 确定$a$和$b$：$4x^2=(2x)^2$，故$a=2x$；$36=6^2$，故$b=6$；
2. 计算完全平方式的中间项：$\pm2ab=\pm2×2x×6=\pm24x$；
3. 对比原式中间项$mx$，可得$mx=\pm24x$，因此$m=\pm24$。
【答案】
$\pm24$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方式的应用，核心是牢记完全平方式的两种形式，容易因忽略负号导致漏解，解题时需全面考虑两种情况。
【难度系数】
0.7
【分析】
观察所求代数式$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - ac - bc$，直接代入a、b、c的表达式计算会很繁琐，因此考虑利用完全平方公式对其进行恒等变形。根据完全平方公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，将$(a-b)^2$、$(a-c)^2$、$(b-c)^2$展开后相加，可推导出$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - ac - bc=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]$。再根据已知的a、b、c的表达式，计算出不含x的$a-b$、$a-c$、$b-c$的值，最后代入变形后的式子即可求出结果。
【解析】
1. 对所求代数式恒等变形：
由完全平方公式：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
$(a-c)^2=a^2-2ac+c^2$，
$(b-c)^2=b^2-2bc+c^2$，
将三式左右两边分别相加：
$(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc$，
两边同时除以2得：
$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - ac - bc=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]$。
2. 计算$a-b$、$a-c$、$b-c$的值：
已知$a = 2005x + 2006$，$b = 2005x + 2007$，$c = 2005x + 2008$，
则$a-b=(2005x+2006)-(2005x+2007)=-1$，
$a-c=(2005x+2006)-(2005x+2008)=-2$，
$b-c=(2005x+2007)-(2005x+2008)=-1$。
3. 代入计算：
将上述值代入变形后的式子：
$\frac{1}{2}[(-1)^2+(-2)^2+(-1)^2]=\frac{1}{2}(1+4+1)=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式应用，代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的恒等变形及整体思想的运用，通过对所求代数式巧妙变形，将复杂运算转化为简单的常数运算，避免了直接代入x的繁琐步骤，提升了解题效率，需要熟练掌握完全平方公式的灵活应用。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题考查多项式的因式分解，需根据不同多项式的特点选择合适的分解方法：
1. 第(1)题，观察到多项式各项存在公因式，优先通过提取公因式完成分解；
2. 第(2)题，将$(m^2 - 1)$看作整体，多项式符合完全平方公式形式，先利用完全平方公式分解，再对结果用平方差公式继续分解；
3. 第(3)题，原式是平方差形式（$(x^2 - 2)^2 - 2^2$），先利用平方差公式分解，再对分解后的部分继续用平方差公式分解；
4. 第(4)题，先对后三项分组变形，将原式转化为平方差形式，利用平方差公式分解后，对二次多项式用求根法分解，同时分解完全平方形式的因式。
【解析】
(1) 提取公因式$-2b$：
$\begin{aligned}-4b^2 + 2ab&=-2b·2b + (-2b)·(-a)\\&=-2b(2b - a)\end{aligned}$
(2) 令$u = m^2 - 1$，利用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}(m^2 - 1)^2 - 6(m^2 - 1) + 9&=(u - 3)^2\\&=(m^2 - 1 - 3)^2\\&=(m^2 - 4)^2\end{aligned}$
再对$(m^2 - 4)$用平方差公式分解：
$(m^2 - 4)^2=[(m + 2)(m - 2)]^2=(m + 2)^2(m - 2)^2$
(3) 将原式看作平方差形式，利用平方差公式分解：
$\begin{aligned}(x^2 - 2)^2 - 4&=(x^2 - 2 + 2)(x^2 - 2 - 2)\\&=x^2(x^2 - 4)\end{aligned}$
再对$(x^2 - 4)$用平方差公式分解：
$x^2(x^2 - 4)=x^2(x + 2)(x - 2)$
(4) 分组变形后利用平方差公式分解：
$\begin{aligned}t^4 - 4t^2 + 4t - 1&=t^4 - (4t^2 - 4t + 1)\\&=t^4 - (2t - 1)^2\\&=(t^2 + 2t - 1)(t^2 - 2t + 1)\end{aligned}$
对$t^2 - 2t + 1$用完全平方公式分解：
$t^2 - 2t + 1=(t - 1)^2$
对$t^2 + 2t - 1$，利用求根公式得方程$t^2 + 2t - 1=0$的根为$t=-1\pm\sqrt{2}$，因此：
$t^2 + 2t - 1=(t + 1 + \sqrt{2})(t + 1 - \sqrt{2})$
综上，原式分解为：
$(t + 1 + \sqrt{2})(t + 1 - \sqrt{2})(t - 1)^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2b(2b - a)}$；
(2) $\boldsymbol{(m + 2)^2(m - 2)^2}$；
(3) $\boldsymbol{x^2(x + 2)(x - 2)}$；
(4) $\boldsymbol{(t + 1 + \sqrt{2})(t + 1 - \sqrt{2})(t - 1)^2}$
【知识点】
1. 提取公因式法；
2. 公式法（平方差、完全平方）；
3. 分组分解法
【点评】
本题涵盖因式分解多种常用方法，需熟练掌握各方法的适用场景，分解时要保证彻底，直到每个因式都不能再分解。第(4)题需灵活分组并结合求根公式分解，对综合能力要求较高。
【难度系数】
0.3
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