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B≠0
B=0
A=0且B≠0
B
C
D
$\frac{3x^2}{4y}$
$\frac{b^2}{a^2}$
$\frac{ab}{c}$
$\frac{28x+32y+48z}{x+y+z}$
A
A
$\frac{2xy}{x+y}$
【分析】
要解决这道题，我们可以从分式的定义和除法的性质入手思考：
1. 分式$\dfrac{A}{B}$可看作整式A除以整式B，除法中除数不能为0，因此要使分式有意义，分母不能为0，即需满足分母$B ≠ 0$；
2. 分式无意义的情况与有意义相反，当分母等于0时，相当于除数为0，除法无意义，因此此时$B = 0$；
3. 分式的值为0时，首先要保证分式本身有意义（即分母不为0），其次分子为0时，0除以非0的数结果为0，因此需要同时满足$B ≠ 0$且$A = 0$。
【解析】
1. 分式有意义的条件：分式的分母不能为0，因此当$\boldsymbol{B ≠ 0}$时，分式$\dfrac{A}{B}$有意义；
2. 分式无意义的条件：当分母为0时，分式无意义，因此当$\boldsymbol{B = 0}$时，分式$\dfrac{A}{B}$无意义；
3. 分式值为0的条件：需同时满足分式有意义（分母不为0）且分子为0，因此当$\boldsymbol{B ≠ 0}$且$\boldsymbol{A = 0}$时，分式$\dfrac{A}{B}$的值为0。
【答案】
$ B ≠ 0 $；$ B = 0 $；$ B ≠ 0 $且$ A = 0 $
【知识点】
分式有意义条件；分式无意义条件；分式值为0条件
【点评】
本题考查分式的基础性质，核心是牢记“分母不能为0”这一关键，尤其要注意分式值为0时，不能仅考虑分子为0，必须同时保证分母不为0，避免遗漏条件。
【难度系数】
0.9
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确分式无意义的条件：当分式的分母为0时，分式无意义。所以我们的解题思路是：先找到给定分式的分母，然后令分母等于0，解出对应的x值，再从选项中找到正确答案。
【解析】
分式无意义的条件是分母为0。
对于分式$\dfrac{2x + 1}{2x - 1}$，其分母为$2x - 1$。
令分母$2x - 1 = 0$，解方程：
$2x = 1$
$x = \dfrac{1}{2}$
因此，当$x = \dfrac{1}{2}$时，该分式无意义，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式无意义的条件
【点评】
本题考查分式无意义的基本概念，属于基础题型。解题关键是牢记“分母为0时分式无意义”这一核心知识点，注意不要与分式有意义（分母不为0）的条件混淆，只要掌握概念就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
【分析】
要判断分式一定有意义，需明确分式有意义的核心条件是分母不为零。因此我们需要逐一分析每个选项的分母，判断是否存在实数a使得分母为0：若存在，则该分式不一定有意义；若无论a取何实数，分母都不为0，则该分式一定有意义。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为零，对各选项分析如下：
选项A：分母为$a^2$，当$a=0$时，$a^2=0$，此时分式无意义，故A不符合要求；
选项B：分母为$a^2 - 1=(a+1)(a-1)$，当$a=1$或$a=-1$时，分母为0，此时分式无意义，故B不符合要求；
选项C：分母为$a^2 + 4$，因为任何实数的平方均为非负数，即$a^2≥0$，所以$a^2 + 4≥4＞0$，无论a取何实数，分母都不为0，该分式一定有意义，故C符合要求；
选项D：分母为$\vert a + 1\vert$，当$a=-1$时，$\vert a + 1\vert=0$，此时分式无意义，故D不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件、平方的非负性
【点评】
本题考查分式有意义的条件，解题关键是结合平方、绝对值的性质，判断分母是否能取到0值。需要注意考虑特殊实数对分母的影响，避免因忽略特殊情况而选错答案。
【难度系数】
0.7
【分析】
要解决分式值为0的问题，需牢记分式值为0的两个必备条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（分母为0时分式无意义）。我们先通过分子为0求出x的可能取值，再根据分母不为0排除不符合的x值，最终确定符合条件的x：
1. 先分析分子：令$\vert x\vert - 1 = 0$，解绝对值方程得到x的候选值；
2. 再分析分母：分母$x - 1$不能为0，否则分式无意义，由此排除不符合的候选值；
3. 综合两步结果，得到最终的x值。
【解析】
根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0。
1. 令分子$\vert x\vert - 1 = 0$，
移项得$\vert x\vert = 1$，
解得$x = 1$或$x = -1$；
2. 分母$x - 1 ≠ 0$，
解得$x ≠ 1$；
3. 结合上述两步，排除$x = 1$，故$x = -1$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分式值为0的条件、绝对值方程解法
【点评】
本题核心考查分式值为0的条件，易错点是忽略分母不为0的限制，直接根据分子为0误选A选项。解题时需同时满足分子为0和分母不为0两个条件，避免因考虑不全面失分。
【难度系数】
0.6
【分析】
对于第(1)题，利用除法与分式的关系转化：除法中的被除数对应分式的分子，除数对应分式的分母，直接将除法运算写成分式形式即可。
对于第(2)题，先根据负整数指数幂的性质，将负指数幂转化为正指数幂的倒数，再结合乘法运算得到最终的分式形式。
【解析】
(1) 根据除法与分式的对应关系，被除数作为分子，除数作为分母，可得：
$3x^{2} ÷ 4y = \frac{3x^{2}}{4y}$
(2) 根据负整数指数幂的性质$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数），先将$a^{-2}$转化为$\frac{1}{a^{2}}$，再进行乘法运算：
$a^{-2} · b^{2} = \frac{1}{a^{2}} · b^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$
【答案】
(1) $ \frac{3x^{2}}{4y} $；(2) $ \frac{b^{2}}{a^{2}} $
【知识点】
分式的定义，负整数指数幂的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查除法与分式的转化、负整数指数幂的运算规则，熟练掌握相关基本概念和性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用直角三角形面积的两种不同计算方法建立等量关系求解。首先回忆直角三角形的面积公式：既可以用两条直角边的乘积的一半计算面积，也可以用斜边与斜边上的高的乘积的一半计算面积。由于是同一个三角形，两种方式得到的面积相等，通过这个等量关系就能解出斜边上的高。
【解析】
设斜边上的高为$ h $。
根据直角三角形的面积公式，存在两种计算方式：
1. 以直角边为底和高：$ S = \frac{1}{2}ab $；
2. 以斜边为底、斜边上的高为高：$ S = \frac{1}{2}ch $。
因为两种方式计算的是同一个三角形的面积，所以可得等式：
$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$
两边同时乘以2消去分母，得：
$ab = ch$
将等式变形，解出$ h $：
$h = \frac{ab}{c}$
【答案】
$ \frac{ab}{c} $
【知识点】
直角三角形面积公式、等积法求高
【点评】
本题主要考查直角三角形面积公式的灵活运用，通过等积法建立等量关系求解斜边上的高，属于基础题型，需要熟练掌握三角形面积的不同计算方式。
【难度系数】
0.9
【分析】
要计算什锦糖的单价，需依据“单价=总金额÷总重量”的基本公式推导。首先分别求出三种糖的总金额，相加得到什锦糖的总金额；再求出三种糖的总重量；最后用总金额除以总重量得到什锦糖的单价，同时对分子提取公因式进行化简。
【解析】
1. 计算三种糖的总金额：
橘子糖的总金额为$28x$元，椰子糖的总金额为$32y$元，奶糖的总金额为$48z$元，因此三种糖的总金额为$28x + 32y + 48z$元。
2. 计算三种糖的总重量：
三种糖的总重量为$x + y + z$千克。
3. 计算什锦糖的单价：
根据“单价=总金额÷总重量”，可得什锦糖的单价为$\frac{28x + 32y + 48z}{x + y + z}$，对分子提取公因式4化简后为$\frac{4(7x + 8y + 12z)}{x + y + z}$元/$\mathrm{kg}$。
【答案】
$\frac{4(7x + 8y + 12z)}{x + y + z}$
【知识点】
列代数式、加权平均数
【点评】
本题是基础的代数实际应用题，核心是掌握“单价=总金额÷总重量”的计算逻辑，解题时需注意对代数式进行合理化简，考查了学生运用数学公式解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这个问题，首先明确分式有意义的核心条件是分母不为0。题目中说无论x取何值分式都有意义，意味着分母对应的二次多项式$4x^2 + 12x + a$恒不等于0。由于二次项系数4＞0，该二次函数图像开口向上，要让它恒不为0，只需图像与x轴没有交点，也就是对应的一元二次方程$4x^2 + 12x + a = 0$无实数根，此时判别式$\Delta ＜ 0$。接下来我们通过计算判别式，解不等式得出a的取值范围，再对比选项找出不符合条件的a值即可。
【解析】
1. 分式有意义的条件：分母不等于0，即对于任意实数x，$4x^2 + 12x + a ≠ 0$。
2. 对于二次函数$y = 4x^2 + 12x + a$，二次项系数$4 ＞ 0$，图像开口向上，若要函数值恒不为0，需函数图像与x轴无交点，即对应的一元二次方程$4x^2 + 12x + a = 0$无实数根。
3. 根据一元二次方程根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$（其中$a=4$，$b=12$，$c=a$），可得：
$\Delta = 12^2 - 4 × 4 × a = 144 - 16a$
4. 令$\Delta ＜ 0$，即：
$144 - 16a ＜ 0$
移项得：$16a ＞ 144$
两边同时除以16：$a ＞ 9$
5. 对比选项，只有A选项的9不满足$a ＞ 9$，因此a的值不可能是9。
【答案】
A
【知识点】
分式有意义的条件；二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式
【点评】
本题将分式有意义的条件与二次函数、一元二次方程的判别式相结合，考查知识的综合应用能力。解题关键是把“分式恒有意义”转化为“二次函数恒不为0”，再利用判别式判断方程根的情况，需要注意二次项系数的符号对函数图像的影响，整体逻辑清晰，计算难度不大。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过对已知等式进行合理变形来推导$\dfrac{b}{a}$的值。首先，可将等式左边的分式拆分为两个分式的差，即$\dfrac{a - b}{a} = \dfrac{a}{a} - \dfrac{b}{a}$，化简后得到关于$\dfrac{b}{a}$的一元一次方程，进而求解；也可以利用交叉相乘的方法，将分式方程转化为整式方程，再通过移项化简得到$a$与$b$的关系，最终求出$\dfrac{b}{a}$。
【解析】
方法一：拆分分式法
已知$\dfrac{a - b}{a} = \dfrac{3}{4}$，
将左边分式拆分：$\dfrac{a}{a} - \dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{4}$，
化简得：$1 - \dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{4}$，
移项可得：$-\dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{4} - 1$，
计算右边：$\dfrac{3}{4} - 1 = -\dfrac{1}{4}$，
两边同时乘以$-1$：$\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{4}$。
方法二：交叉相乘法
已知$\dfrac{a - b}{a} = \dfrac{3}{4}$，
交叉相乘得：$4(a - b) = 3a$，
展开括号：$4a - 4b = 3a$，
移项化简：$4a - 3a = 4b$，即$a = 4b$，
两边同时除以$a$（$a≠0$，原式分母为$a$，故$a≠0$）：$1 = 4·\dfrac{b}{a}$，
所以$\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{4}$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的拆分、等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查分式的变形与等式的运算。解题的关键是将已知等式转化为含$\dfrac{b}{a}$的形式，通过简单的代数变形即可求解，学生只要掌握分式的基本运算和等式的性质就能轻松解决。
【难度系数】
0.9
【分析】
要计算货车的平均速度，需牢记平均速度的核心定义：平均速度=总路程÷总时间。题目未给出上山路程，可设上山路程为$ s\ \mathrm{km} $（$ s ≠ 0 $），分别求出上山时间、下山时间，再计算总路程与总时间，最后代入公式化简即可，注意不能错误地将平均速度当成速度的算术平均值（即$\frac{x+y}{2}$）。
【解析】
设上山的路程为$ s\ \mathrm{km} $（$ s ≠ 0 $）。
1. 计算上山时间：根据“时间=路程÷速度”，上山时间$ t_1 = \frac{s}{x}\ \mathrm{h} $；
2. 计算下山时间：下山路程与上山路程相等，故下山时间$ t_2 = \frac{s}{y}\ \mathrm{h} $；
3. 计算总路程：货车上山和下山的总路程为$ s + s = 2s\ \mathrm{km} $；
4. 计算总时间：总时间为上山时间与下山时间之和，即
$ t = t_1 + t_2 = \frac{s}{x} + \frac{s}{y} = s(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{s(x + y)}{xy}\ \mathrm{h} $；
5. 计算平均速度：根据平均速度公式，
$ v = \frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}} = \frac{2s}{\frac{s(x + y)}{xy}} $，约去$ s $（$ s ≠ 0 $），化简得$ v = \frac{2xy}{x + y}\ \mathrm{km/h} $。
【答案】
$ \frac{2xy}{x + y} $
【知识点】
平均速度计算、分式化简运算、行程问题公式
【点评】
本题考查平均速度的正确计算，易错点是误将平均速度当作速度的算术平均值。通过设辅助未知数$ s $来表示未知路程，最终可约去该未知数，体现了设元法在解决未知量问题中的应用，需熟练掌握分式的通分与约分运算，确保结果化简正确。
【难度系数】
0.6
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