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$x＜1$且$x≠0$
2,3,4,7
有意义：$x≠1；$值为0：无解
有意义：$x≠±4；$值为0：$x=0$
有意义：$x≠2$且$x≠-5；$值为0：$x=-1$
有意义：$x+y≠0；$值为0：$y=2x$且$x+y≠0$（或$y=2x$且$x≠0$）
解：设甲追上乙需要$t$小时，根据题意得：$at = b(t + 1)，$$at = bt + b，$$at - bt = b，$$t(a - b)=b，$解得$t = \frac{b}{a - b}。$当$a=6，$$b=5$时，$t=\frac{5}{6 - 5}=5$（小时）。
答：甲追上乙需要$\frac{b}{a - b}$小时；当$a=6，$$b=5$时，需要5小时。
$\frac{1}{23}$
解：由​$\frac {x}{x²-1}=1$​
∴​$\frac {x²-1}{x}=1$​即​$x-\frac 1{x}=1$​
∴​$(x-\frac 1{x})²=1²$​
​$x²+\frac 1{x²}-2=1$​
∴​$x²+\frac 1{x²}=3$​
∴​$\frac {x^8-3x^4+1}{x^4}=x^4-3+\frac 1{x^4}=(x^2+\frac 1{x^2})²-5=3²-5=4$​
∴原式​$=\frac {1}{4}$​
【分析】
要确定分式$\dfrac{x - 1}{x^{2}}$的值为负数时$x$的取值范围，需从分式值的符号规则和分式有意义的条件入手分析：
1. 分式值为负数的核心条件是分子与分母异号（一正一负）；
2. 先看分母$x^2$：任何非零实数的平方都是正数，且分式有意义时分母不能为0，因此$x^2＞0$恒成立（$x≠0$）；
3. 因为分母为正，要使分式值为负，分子必须为负，即$x-1＜0$，解这个不等式再结合$x≠0$的条件，就能得到$x$的取值范围。
【解析】
要使分式$\dfrac{x - 1}{x^{2}}$的值为负数，需满足以下两个条件：
1. 分式有意义：分母不能为0，即$x^2≠0$，解得$x≠0$；
2. 分式值为负数：分子与分母异号。
因为$x^2$是实数的平方，当$x≠0$时，$x^2＞0$，所以分子$x-1$必须小于0，即：
$x - 1 ＜ 0$
解得$x ＜ 1$。
综合以上两个条件，$x$的取值范围是$x＜1$且$x≠0$。
【答案】
$x＜1$且$x≠0$
【知识点】
分式值的符号判定、分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式相关的取值范围问题，解题的关键是同时兼顾分式有意义的条件（分母不为0）和分式值的符号要求，容易忽略$x≠0$这个条件，需特别注意。
【难度系数】
0.7
【分析】
要解决这个问题，我们需要从分式的值为正整数的条件入手分析：
1. 首先，分式$\dfrac{6}{x - 1}$的值为正整数，说明分式有意义，因此分母$x-1≠0$；
2. 分式的值为正整数，意味着分子6能被分母$x-1$整除，且$x-1$是正数（因为分子6是正数，商为正整数，所以分母必须为正）；
3. 由于x是整数，所以$x-1$是6的正约数，我们只需找出6的所有正约数，再通过$x-1$等于这些约数，解出对应的x值即可。
【解析】
因为分式$\dfrac{6}{x - 1}$的值为正整数，且x为整数，所以：
1. 分母$x-1$是6的正约数（分子6为正，要使商为正整数，分母需为6的正因数）；
2. 6的正约数有1、2、3、6，分别求解：
当$x-1=1$时，解得$x=2$；
当$x-1=2$时，解得$x=3$；
当$x-1=3$时，解得$x=4$；
当$x-1=6$时，解得$x=7$；
3. 验证：将$x=2、3、4、7$分别代入分式，$\dfrac{6}{2-1}=6$，$\dfrac{6}{3-1}=3$，$\dfrac{6}{4-1}=2$，$\dfrac{6}{7-1}=1$，均为正整数，符合条件。
【答案】
2 或 3 或 4 或 7
【知识点】
分式的值、正约数的概念
【点评】
本题主要考查分式的性质及正约数的应用，解题关键是明确“分式的值为正整数”意味着分母是分子的正约数，同时要注意分式有意义的条件（分母不为0），需学生具备分析整数与分式关系的能力，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决分式有意义和值为0的问题，需牢记两个核心规则：
1. 分式有意义的条件：分母不等于0，只需解分母≠0的不等式，得到字母的取值范围；
2. 分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0，需先解分子=0的方程得到字母可能的取值，再验证这些取值是否满足分母≠0，若满足则是值为0的条件，若不满足则分式值不能为0。
针对每个小题的思路：
(1) 对于$\dfrac{2x - 2}{x - 1}$，先令分母$x-1≠0$得有意义的条件；再解分子$2x-2=0$得$x=1$，但此时分母为0，分式无意义，故值不能为0；
(2) 对于$\dfrac{4x}{\vert x\vert - 4}$，令分母$\vert x\vert -4≠0$解不等式得有意义的条件；解分子$4x=0$得$x=0$，验证分母$\vert0\vert-4=-4≠0$，故$x=0$时值为0；
(3) 对于$\dfrac{x + 1}{(x - 2)(x + 5)}$，令分母$(x-2)(x+5)≠0$得有意义的条件；解分子$x+1=0$得$x=-1$，验证分母$(-1-2)(-1+5)=-12≠0$，故$x=-1$时值为0；
(4) 对于$\dfrac{2x - y}{x + y}$，令分母$x+y≠0$得有意义的条件；解分子$2x-y=0$得$x=\dfrac{1}{2}y$，验证分母$x+y=\dfrac{1}{2}y+y=\dfrac{3}{2}y≠0$，故$x=\dfrac{1}{2}y$时值为0。
【解析】
(1) 分式有意义的条件：
分母$x-1≠0$，解得$x≠1$；
分式值为0的条件：
分子$2x-2=0$，解得$x=1$，但此时分母$x-1=0$，分式无意义，故该分式的值不能为0。
(2) 分式有意义的条件：
分母$\vert x\vert -4≠0$，即$\vert x\vert≠4$，解得$x≠±4$；
分式值为0的条件：
分子$4x=0$，解得$x=0$，此时分母$\vert0\vert-4=-4≠0$，故当$x=0$时，分式的值为0。
(3) 分式有意义的条件：
分母$(x-2)(x+5)≠0$，则$x-2≠0$且$x+5≠0$，解得$x≠2$且$x≠-5$；
分式值为0的条件：
分子$x+1=0$，解得$x=-1$，此时分母$(-1-2)(-1+5)=(-3)×4=-12≠0$，故当$x=-1$时，分式的值为0。
(4) 分式有意义的条件：
分母$x+y≠0$，即$x≠-y$；
分式值为0的条件：
分子$2x-y=0$，解得$x=\dfrac{1}{2}y$，此时分母$x+y=\dfrac{1}{2}y+y=\dfrac{3}{2}y≠0$，故当$x=\dfrac{1}{2}y$时，分式的值为0。
【答案】
(1) 当$x≠1$时有意义，分式的值不能为0；
(2) 当$x≠±4$时有意义，当$x=0$时，分式的值为0；
(3) 当$x≠2$且$x≠-5$时有意义，当$x=-1$时，分式的值为0；
(4) 当$x≠-y$时有意义，当$x=\dfrac{1}{2}y$时，分式的值为0。
【知识点】
1. 分式有意义的条件；
2. 分式值为0的条件。
【点评】
本题重点考查分式有意义和值为0的核心条件，需注意分式值为0时必须同时满足“分子为0”和“分母不为0”两个条件，避免只考虑分子为0而忽略分母不为0的情况，如第(1)题中分子为0时分母也为0，此时分式无意义，值不能为0，这是易出错点。通过此类题目可加深对分式概念的理解。
【难度系数】
0.7
【分析】
这是一道追及类行程问题，解题核心是抓住“甲追上乙时，两人所行驶的路程相等”这一关键等量关系。首先，乙提前1小时出发，先计算出乙提前走的路程；接着设甲追上乙需要的时间为$ t $小时，分别表示出甲行驶的路程和乙总共行驶的路程；最后根据路程相等列出方程，解方程即可得到甲追上乙所需时间的表达式，再代入具体数值计算出结果。
【解析】
设甲追上乙需要$ t $小时。
1. 计算乙提前走的路程：
乙提前1小时出发，速度为$ b\ \mathrm{km/h} $，则乙提前走的路程为$ b × 1 = b\ \mathrm{km} $。
2. 表示甲和乙的总路程：
甲的速度为$ a\ \mathrm{km/h} $，则甲行驶的路程为$ at\ \mathrm{km} $；
乙在甲出发后又行驶了$ bt\ \mathrm{km} $，因此乙总共行驶的路程为$ (b + bt)\ \mathrm{km} $。
3. 根据追及条件列方程并求解：
当甲追上乙时，两人路程相等，可得方程：
$at = b + bt$
移项得：
$at - bt = b$
提取公因式$ t $：
$t(a - b) = b$
因为$ a ＞ b $，所以$ a - b ≠ 0 $，两边同时除以$ a - b $，得：
$t = \frac{b}{a - b}$
4. 代入具体数值计算：
当$ a = 6 $，$ b = 5 $时，代入$ t = \frac{b}{a - b} $得：
$t = \frac{5}{6 - 5} = 5\ \mathrm{h}$
【答案】
$\frac{b}{a - b}$，5 h
【知识点】
追及问题等量关系，一元一次方程应用
【点评】
本题围绕追及问题的核心等量关系展开，通过设未知数建立一元一次方程求解，既考查了行程问题的基本逻辑，也锻炼了方程思想的应用。解题时需注意乙提前出发的路程计算，代入数值时要保证运算准确，是巩固行程问题基础的典型题目。
【难度系数】
0.7
【分析】
对于这类分式求值问题，直接求解$x$的值再代入计算会较为繁琐，观察已知条件与所求分式的结构特征，采用“倒数求值法”更为简便。先对已知分式取倒数，变形得到$x$与$\frac{1}{x}$的关系式，再利用完全平方公式逐步推导所求分式的倒数，最后取倒数即可得到结果。
具体到第(2)问：先由已知$\frac{x}{x^2 - 1}=1$判断$x≠0$，对其取倒数得到$x-\frac{1}{x}=1$，再通过完全平方公式依次求出$x^2+\frac{1}{x^2}$、$x^4+\frac{1}{x^4}$，接着对所求分式取倒数，将其转化为含$x^4+\frac{1}{x^4}$的形式，代入计算后取倒数得到最终结果。
【解析】
(1) 解：由$\frac{x}{x^2 + 1}=\frac{1}{5}$，可知$x≠0$，
对已知分式取倒数得：$\frac{x^2 + 1}{x}=5$，即$x+\frac{1}{x}=5$。
对$\frac{x^4 + 1}{x^2}$变形得：$\frac{x^4 + 1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}$，
根据完全平方公式：$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 - 2$，
代入$x+\frac{1}{x}=5$得：$x^2+\frac{1}{x^2}=5^2 - 2=23$，
故$\frac{x^2}{x^4 + 1}=\frac{1}{23}$。
(2) 解：由$\frac{x}{x^2 - 1}=1$，可知$x≠0$，
对已知分式取倒数得：$\frac{x^2 - 1}{x}=1$，即$x - \frac{1}{x}=1$。
对$x - \frac{1}{x}=1$两边平方：
$(x - \frac{1}{x})^2=1^2$，
展开得：$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}=1$，
移项计算得：$x^2+\frac{1}{x^2}=3$。
对$x^2+\frac{1}{x^2}=3$两边平方：
$(x^2+\frac{1}{x^2})^2=3^2$，
展开得：$x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}=9$，
移项计算得：$x^4+\frac{1}{x^4}=7$。
对所求分式$\frac{x^4}{x^8 - 3x^4 + 1}$取倒数：
$\frac{x^8 - 3x^4 + 1}{x^4}=x^4 - 3 + \frac{1}{x^4}=(x^4+\frac{1}{x^4}) - 3$，
代入$x^4+\frac{1}{x^4}=7$得：$(x^4+\frac{1}{x^4}) - 3=7 - 3=4$，
故$\frac{x^4}{x^8 - 3x^4 + 1}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{23}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$
【知识点】
1. 分式倒数变形
2. 完全平方公式应用
3. 分式化简求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是掌握“倒数求值法”的技巧，通过取倒数将复杂分式转化为可利用完全平方公式变形的形式，避免了直接求解$x$的繁琐过程，体现了整体思想在代数求值中的重要应用。
【难度系数】
0.3
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