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同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式
不变
$\frac{A\times C}{B\times C}$
$\frac{A\div C}{B\div C}$
C
C
B
$2xy$
$5x$
$1$
$ac$
C
C
④
$12x^2 + 2xy$
$2a^2 + 3a - 14$
【分析】
这道题是对分式基本性质定义的直接考查，解题时需先回忆分式基本性质的核心逻辑：首先要明确分子和分母的操作规则，必须是同时乘或除以同一个不为0的整式（因为分母不能为0，所以这个整式C不能为0）；接着明确这种操作下分式的值的变化情况；最后根据乘、除以两种不同操作，写出对应的等式形式。
【解析】
根据分式基本性质的定义：
分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
用数学式子表示为：
当分子、分母同时乘同一个不为0的整式C时，$\frac{A}{B}=\frac{A× C}{B× C}$；
当分子、分母同时除以同一个不为0的整式C时，$\frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}$。
【答案】
都乘（或除以）同一个不为0的整式，不变，$\frac{A× C}{B× C}$，$\frac{A÷ C}{B÷ C}$
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念题，直接考查分式基本性质的定义，需要准确牢记性质内容，尤其要注意“同一个不为0的整式”这一关键条件，这是避免出错的核心要点。
【难度系数】
0.9
【分析】
要判断分式的变形是否正确，需依据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。我们需要逐个分析选项，检查每个选项的变形是否符合该性质，同时注意变形后分式有意义的条件：
1. 选项A中分子乘2，分母未乘同一个整式，不符合性质；
2. 选项B中分子乘-1，分母未乘同一个整式，不符合性质；
3. 选项C中原分式有意义则$x+1≠0$，分子分母同时乘$(x+1)$，符合性质；
4. 选项D中当$x=1$时，乘的$(x-1)=0$，变形后分式无意义，不具备普遍性。
【解析】
根据分式的基本性质逐一分析：
选项A：$\frac{1}{x+1}$的分子乘2，分母变为$x+2$，并非乘同一个整式，不符合分式基本性质，变形错误；
选项B：$\frac{1}{x+1}$的分子乘$-1$，分母变为$x-1$，并非乘同一个整式，不符合分式基本性质，变形错误；
选项C：原分式$\frac{1}{x+1}$有意义则$x+1≠0$，分子分母同时乘$(x+1)$，得到$\frac{x+1}{(x+1)^2}$，符合分式基本性质，变形正确；
选项D：$\frac{1}{x+1}$的分子分母同时乘$(x-1)$得到$\frac{x-1}{x^2-1}$，但当$x=1$时，变形后的分式分母为0，无意义，该变形不成立，错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题核心考查分式基本性质的应用，解题时需注意两点：一是分子分母必须乘（或除以）同一个不为0的整式；二是要保证变形前后分式都有意义，不能忽略分母不为0的限制条件。
【难度系数】
0.8
【分析】
要找出与分式$\frac{-a}{a - b}$值相等的式子，需利用分式的符号变化规律或基本性质分析：首先回忆分式的性质，分式的分子、分母同时改变符号，分式的值不变；也可将原式分母$a - b$转化为$-(b - a)$，再化简原式，对比各选项即可得到答案，也能逐个对选项变形后与原式对比判断。
【解析】
对原式进行变形分析：
已知原式为$\frac{-a}{a - b}$，将分母$a - b$提取负号，可得$a - b = -(b - a)$，代入原式：
$\frac{-a}{a - b} = \frac{-a}{-(b - a)} = \frac{a}{b - a}$
再逐一验证其他选项：
选项A：$\frac{-a}{-a - b} = \frac{-a}{-(a + b)} = \frac{a}{a + b}$，与原式值不相等；
选项B：$\frac{a}{a + b}$，与原式值不相等；
选项D：$\frac{-a}{b - a} = \frac{-a}{-(a - b)} = \frac{a}{a - b}$，与原式值互为相反数，不相等；
综上，只有选项C与原式值相等。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质、分式符号法则
【点评】
本题主要考查分式的符号变化规律，解题关键是熟练掌握分式分子、分母及分式本身符号改变时，分式值的变化规律，变形过程中需注意符号的正确处理，避免因符号错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先根据题目要求，将原分式中的x替换为2x，y替换为2y，得到新的分式；然后对新分式进行化简；最后将化简后的分式与原分式对比，判断其值的变化情况。核心是通过代入和约分，利用分式的性质分析值的变化。
【解析】
将原分式$\frac{3y}{x + y}$中的$x$、$y$都扩大为原来的2倍，即用$2x$代替$x$，$2y$代替$y$，得到新分式：
$\frac{3×(2y)}{2x + 2y}$
对新分式化简：
分子计算得：$3×(2y)=6y$
分母提取公因式得：$2x + 2y=2(x + y)$
因此新分式可写为$\frac{6y}{2(x + y)}$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以2（$x+y≠0$，原分式有意义的条件），约分后得到$\frac{3y}{x + y}$，与原分式相等。
所以所得分式的值不变。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对分式基本性质的理解与应用。解题关键是正确代入$x$、$y$扩大后的数值，通过约分化简后与原分式对比，判断分式值的变化，需注意分式有意义的前提是分母不为0。
【难度系数】
0.8
【分析】
本题考查分式的基本性质的应用，解题核心是抓住“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”这一性质，通过对比等式两边已知的分子或分母的变化，推导出未知的部分：
1. 第（1）问：观察分母从$x$变为$x^2$，是给原分母乘了$x$，根据分式基本性质，分子也需乘$x$，即可得到未知分子；
2. 第（2）问：观察分子从$7xy$变为$7$，是给原分子除以了$xy$（$x≠0,y≠0$，否则原分式无意义），因此分母也需除以$xy$，得到未知分母；
3. 第（3）问：先化简右边的分式$\frac{2y}{2xy^2}=\frac{1}{xy}$，再对比左边分母$xy$，即可得出未知分子；也可通过观察分母从$xy$变为$2xy^2$是乘了$2y$，则分子需除以$2y$得到未知分子；
4. 第（4）问：先将左边分子$a^2+a$因式分解为$a(a+1)$，观察分子从$a+1$变为$a(a+1)$是乘了$a$（$a≠0$），因此分母也需乘$a$，得到未知分母。
【解析】
（1）因为$\frac{2y}{x}$的分母$x$乘$x$得到$x^2$，根据分式的基本性质，分子$2y$也需乘$x$，即$2y · x = 2xy$，所以括号内应填$2xy$；
（2）$\frac{7xy}{5x^2y}$的分子$7xy$除以$xy$（$x≠0,y≠0$）得到$7$，根据分式的基本性质，分母$5x^2y$也需除以$xy$，即$5x^2y ÷ xy = 5x$，所以括号内应填$5x$；
（3）先化简右边的分式：$\frac{2y}{2xy^2}=\frac{2y÷ 2y}{2xy^2÷ 2y}=\frac{1}{xy}$，对比左边$\frac{(\quad)}{xy}$，可知未知分子为$1$；
（4）左边分子$a^2+a=a(a+1)$，观察到右边分子$a+1$乘$a$（$a≠0$）得到$a(a+1)$，根据分式的基本性质，分母$c$也需乘$a$，即$c · a = ac$，所以括号内应填$ac$。
【答案】
（1）$2xy$；（2）$5x$；（3）$1$；（4）$ac$
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用，题目难度较低，解题时需注意两点：一是分子、分母同乘或同除的整式不能为0（需结合原分式有意义的条件判断）；二是当分子或分母是多项式时，可先因式分解，更易观察出分子分母的变化规律，帮助快速推导未知部分，巩固对分式基本性质的理解与运用。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这个问题，我们的思路是：首先根据题意，将原分式中的x和y分别替换为原来的一半，也就是用$\frac{x}{2}$代替x，$\frac{y}{2}$代替y，得到新的分式；然后对新分式进行化简，再将化简后的结果与原分式进行对比，从而判断分式值的变化情况。
【解析】
步骤1：根据题意，将x、y替换为原来的一半，得到新分式：
$\frac{\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2}$
步骤2：计算新分式的分母：
$(\frac{x}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2 = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} = \frac{x^2 + y^2}{4}$
步骤3：化简新分式：
$\frac{\frac{x}{2}}{\frac{x^2 + y^2}{4}} = \frac{x}{2} × \frac{4}{x^2 + y^2} = \frac{2x}{x^2 + y^2}$
步骤4：对比原分式$\frac{x}{x^2 + y^2}$，可知新分式的值是原分式的2倍，即所得分式的值扩大到原来的2倍。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质，分式化简
【点评】
本题主要考查分式基本性质的应用，解题的关键是准确进行变量替换，并正确化简分式。题目难度不大，但需要注意分母的计算，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.7
【分析】
要使分式从左到右的变形成立，需依据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。观察等式变形，左边$\frac{7}{x+2}$到右边$\frac{7x}{x^2+2x}$，是分子、分母同时乘以$x$，因此首先要保证所乘的$x≠0$；同时需保证原分式和变形后的分式有意义，即原分母$x+2≠0$，变形后分母$x^2+2x=x(x+2)≠0$，即$x≠-2$且$x≠0$。但题目问的是变形成立的条件，原分式本身有意义的$x≠-2$是前提，而变形时额外需要满足的是$x≠0$，结合选项，正确条件为$x≠0$。
【解析】
根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
等式$\frac{7}{x + 2}=\frac{7x}{x^2 + 2x}$从左到右的变形，是将分子、分母同时乘以$x$：
1. 为保证所乘的整式不为0，需$x≠0$；
2. 同时原分式分母$x+2≠0$（即$x≠-2$），变形后分母$x^2+2x=x(x+2)≠0$，即$x≠-2$且$x≠0$。
结合选项，使变形成立的条件是$x≠0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质，分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式基本性质的应用，核心是明确分式变形时，分子分母同乘的整式不能为0，同时要保证分式始终有意义。解题时需注意区分原分式有意义的条件与变形所需的额外条件，避免遗漏关键限制。
【难度系数】
0.8
【解析】
1. 对于①：分式的基本性质是分子分母同乘或除以同一个不为0的整式，分式值不变，该变形是分子分母同时加2，不符合分式基本性质，变形错误。
2. 对于②：$\frac{x^2 - y^2}{x - y}=\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}=x+y$，$x≠ y$，原式变形为$x-y$，错误。
3. 对于③：当$b=1$，$a=2$时，$\frac{1}{2}≠\frac{1}{4}$，该变形不一定正确。
4. 对于④：由$a$在分母可知$a≠0$，根据分式基本性质，分子分母同乘$a$，可得$\frac{b}{a}=\frac{ab}{a^2}$，变形一定正确。
【答案】
④
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题考查分式基本性质的应用，需牢记分式变形的规则，同时注意分母不为0的限制条件，避免错误判断。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题考查分式的基本性质及多项式乘法的应用，解题思路如下：
（1）先对比等式左右两边的分母，找出原分母到目标分母的变形规律（即乘以的整式），再根据分式的基本性质，将原分子乘以相同的整式，得到未知分子；
（2）利用分式交叉相等的原理（若$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$，则$A· D=B· C$，且$B、D≠0$），通过已知的分子分母交叉相乘，计算得到未知分母。
【解析】
（1）步骤1：分析分母的变形
原分母为$\frac{5}{6}x - y$，目标分母为$5x^2 - 6xy$，计算原分母乘以$6x$（$x≠0$）的结果：
$(\frac{5}{6}x - y)·6x = \frac{5}{6}x·6x - y·6x = 5x^2 - 6xy$，与目标分母一致。
步骤2：根据分式基本性质计算未知分子
原分子为$2x + \frac{1}{3}y$，乘以$6x$得：
$(2x + \frac{1}{3}y)·6x = 2x·6x + \frac{1}{3}y·6x = 12x^2 + 2xy$，即未知分子为$12x^2 + 2xy$。
（2）步骤1：设未知分母为$B$，根据分式交叉相等列等式
由$\frac{a - 2}{B}=\frac{1}{2a + 7}$，可得$B=(a - 2)(2a + 7)$（$2a+7≠0$）。
步骤2：展开多项式计算$B$
$(a - 2)(2a + 7) = a·2a + a·7 - 2·2a - 2·7 = 2a^2 + 7a - 4a - 14 = 2a^2 + 3a - 14$，即未知分母为$2a^2 + 3a - 14$。
【答案】
（1）$12x^{2}+2xy$；（2）$2a^{2}+3a - 14$
【知识点】
分式的基本性质，多项式乘法
【点评】
本题是分式变形的基础题型，核心是灵活运用分式的基本性质，同时需注意多项式乘法的展开与同类项合并，计算时要细心，避免符号错误，且要保证变形过程中乘除的整式不为0。
【难度系数】
0.6
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