第79页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

C

$\frac{1}{2}$

 解：化简：$\frac{(1 - x)^2(1 + x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{(x - 1)^2(1 + x)}{(x - 1)^2(x + 1)^2} = \frac{1}{x + 1}，$

当$x = -50$时，原式$=\frac{1}{-50 + 1}=-\frac{1}{49}$

解： 化简：$\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 6x + 5} = \frac{(x + 1)^2}{(x + 1)(x + 5)} = \frac{x + 1}{x + 5}，$

当$x = 100$时，原式$=\frac{100 + 1}{100 + 5}=\frac{101}{105}$

①③

解：

$(2)$∵分式$\frac {x^2-4x+m}{x+n}(m $为常数$)$是一个$''$巧分式$''，$它的$''$巧整式$''$为$x-7，$

∴$(x+n)·(x-7)=x^2-4x+m，$

∴$x^2+(n-7)x-7n=x^2-4x+m，$

∴$n-7=-4，$$m=-7n，$

∴$n=3，$$m=-21$

$(3)$∵分式$\frac {-2x^3+2x}A$的$''$巧整式$''$为$1-x，$

∴$A=\frac {-2x^3+2x}{1-x}，$

∴$A=\frac {2x(1-x^2)}{1-x}=\frac {2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)，$即$A=2x^2+2x。$

∵$\frac {2x^3+4x^2+2x}{2x^2+2x}=\frac {2x(x^2+2x+1)}{2x(x+1)}=\frac {(x+1)^2}{x+1}=x+1，$

∴$\frac {2x^3+4x^2+2x}A$是$''$巧分式$''$

【分析】
要解决本题，需明确分式可约分化简的核心条件：分子与分母存在不为零的公因式。已知分子为$(x-1)(x+2)$，我们将每个选项中的$A$代入分母，通过因式分解判断分母是否能分解出与分子相同的因式，若不存在这样的公因式，则该$A$即为不可能的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项：
1. 选项A：当$A=1$时，分母为$(x^2 - 1)x=(x-1)(x+1)x$，分子为$(x-1)(x+2)$，分子分母存在公因式$(x-1)$，可约分化简，故A不符合题意；
2. 选项B：当$A=x$时，分母为$(x^2 - x)x=x(x-1)x=x^2(x-1)$，分子为$(x-1)(x+2)$，分子分母存在公因式$(x-1)$，可约分化简，故B不符合题意；
3. 选项C：当$A=-x$时，分母为$(x^2 - (-x))x=(x^2+x)x=x(x+1)x=x^2(x+1)$，分子为$(x-1)(x+2)$，分母的因式为$x$、$x+1$，与分子的因式$(x-1)$、$(x+2)$均不相同，且$x$不是分子的因式，因此分子分母无公因式，无法约分化简，故C符合题意；
4. 选项D：当$A=4$时，分母为$(x^2 - 4)x=(x-2)(x+2)x$，分子为$(x-1)(x+2)$，分子分母存在公因式$(x+2)$，可约分化简，故D不符合题意。
综上，$A$不可能是$-x$。
【答案】
C
【知识点】
分式的约分，因式分解
【点评】
本题考查分式约分的条件，解题关键是通过因式分解判断分子分母是否存在公因式，需注意区分参数为常数和整式的情况，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6

【分析】
要判断一个分式是否为“和分式”，需紧扣定义的两个核心条件：①分子或分母可以分解因式；②分式不可约分。我们需要对每个选项逐一分析，先判断分子、分母能否分解因式，再看是否存在公因式可约分，最终确定符合两个条件的选项。
1. 分析选项A：分子$x^2-y^2$可分解为$(x-y)(x+y)$，分母为$x-y$，分子分母有公因式$x-y$，可约分为$x+y$，不满足“不可约分”的条件，不是“和分式”。
2. 分析选项B：分子$x+y$无法分解因式，分母$x^2-xy+y^2$在实数范围内也无法分解因式，不满足“分子或分母可以分解因式”的条件，不是“和分式”。
3. 分析选项C：分子$4x+2y$可分解为$2(2x+y)$，分母$x^2-4y^2$可分解为$(x-2y)(x+2y)$，分子分母没有公因式，不可约分，同时满足两个条件，是“和分式”。
4. 分析选项D：分子$x^2-2xy+y^2$可分解为$(x-y)^2$，分母$2x-2y$可分解为$2(x-y)$，分子分母有公因式$x-y$，可约分为$\frac{x-y}{2}$，不满足“不可约分”的条件，不是“和分式”。
【解析】
根据“和分式”的定义，对各选项逐一分析：
选项A：$\frac{x^2-y^2}{x-y}=\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}=x+y$，可约分，不是“和分式”；
选项B：分子$x+y$、分母$x^2-xy+y^2$均不能分解因式，不满足“分子或分母可分解因式”的条件，不是“和分式”；
选项C：分子$4x+2y=2(2x+y)$，分母$x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y)$，分子分母无公因式，不可约分，且分子、分母均可分解因式，符合“和分式”的定义；
选项D：$\frac{x^2-2xy+y^2}{2x-2y}=\frac{(x-y)^2}{2(x-y)}=\frac{x-y}{2}$，可约分，不是“和分式”。
因此，是“和分式”的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解、分式约分
【点评】
本题主要考查对新定义“和分式”的理解与应用，核心是掌握因式分解的方法（平方差公式、完全平方公式、提公因式法）以及分式约分的条件（分子分母有公因式）。解题关键是紧扣定义的两个条件，逐一验证选项，避免因忽略其中一个条件而误判。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先根据提示，将已知条件$3 = 2^{a}$代入$3^{b}=2$，利用幂的乘方运算性质推导$a$与$b$的关系；再将该关系代入所求代数式，通过化简分子分母，约去公因式即可得到结果。具体思考步骤如下：
1. 代入推导$ab$的值：把$3=2^a$代入$3^b=2$，得到$(2^a)^b=2$，根据幂的乘方法则可得$2^{ab}=2^1$，由底数相同的幂相等则指数相等，得出$ab=1$。
2. 代入化简代数式：将$ab=1$代入分母，把分母变形为含分子的形式，发现分子分母有公因式，约去后得到最终结果。
【解析】
已知$3 = 2^{a}$，$3^{b}=2$，将$3 = 2^{a}$代入$3^{b}=2$中：
$(2^{a})^{b}=2$
根据幂的乘方运算性质$(x^m)^n=x^{mn}$，可得：
$2^{ab}=2^1$
因为底数相同的幂相等时指数相等，所以：
$ab=1$
将$ab=1$代入所求代数式$\frac{a + b + 2}{3ab + 2a + 2b + 1}$：
$\begin{aligned}\frac{a + b + 2}{3ab + 2a + 2b + 1}&=\frac{a + b + 2}{3×1 + 2a + 2b + 1}\\&=\frac{a + b + 2}{4 + 2(a + b)}\\&=\frac{a + b + 2}{2(a + b + 2)}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
（注：$a=\log_2 3＞0$，$b=\log_3 2＞0$，故$a+b+2≠0$，可约去公因式）
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
幂的乘方运算，代数式化简
【点评】
本题核心是利用幂的乘方性质找到$ab=1$的关键关系，再通过整体代入思想化简代数式，考查了对幂的运算性质的掌握以及代数式化简的能力，整体代入是解题的突破口。
【难度系数】
0.4

【分析】
对于这类化简求值题，解题思路是先对分子分母进行因式分解，再根据分式的基本性质约分，将原式化为最简分式，最后代入给定的x值计算结果。
（1）先观察分母$(x^2-1)^2$，利用平方差公式分解为$[(x-1)(x+1)]^2=(x-1)^2(x+1)^2$；分子中的$(1-x)^2$可变形为$(x-1)^2$，然后约去分子分母的公因式$(x-1)^2$和$(x+1)$，得到最简分式后代入$x=-50$计算。
（2）分子$x^2+2x+1$是完全平方式，可分解为$(x+1)^2$；分母$x^2+6x+5$利用十字相乘法分解为$(x+1)(x+5)$，约去公因式$(x+1)$得到最简分式，再代入$x=100$计算。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}\frac{(1 - x)^{2}(1 + x)}{(x^{2}-1)^{2}}&=\frac{(x-1)^2(1+x)}{[(x-1)(x+1)]^2}\\&=\frac{(x-1)^2(x+1)}{(x-1)^2(x+1)^2}\\&=\frac{1}{x+1}\end{aligned}$
当$x=-50$时，原式$=\frac{1}{-50+1}=-\frac{1}{49}$。
（2）
$\begin{aligned}\frac{x^{2}+2x + 1}{x^{2}+6x + 5}&=\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x+5)}\\&=\frac{x+1}{x+5}\end{aligned}$
当$x=100$时，原式$=\frac{100+1}{100+5}=\frac{101}{105}$。
【答案】
（1）化简结果为$\frac{1}{x+1}$，值为$-\frac{1}{49}$；（2）化简结果为$\frac{x+1}{x+5}$，值为$\frac{101}{105}$。
【知识点】
分式化简求值，因式分解（平方差、完全平方、十字相乘）
【点评】
本题核心考查分式化简求值，重点在于熟练运用因式分解方法分解分子分母，利用分式基本性质约分，化简时注意符号处理，代入计算需细心，避免计算失误。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要判断是否为“巧分式”，需根据定义看分式约分后是否为整式。对每个分式逐一分析：①可约去公因式$(x - 1)(x + 2)$，得到整式$2x - 3$；②约分后仍为分式；③利用平方差公式分解分子，约去公因式$x + y$后得到整式$x - y$，据此确定符合的序号。
(2) 根据“巧分式”定义，分子可表示为$(x + n)$与“巧整式”$x - 7$的乘积，将乘积展开后与分子$x^2 - 4x + m$对应系数相等，列方程求解$m$、$n$。
(3) 先根据已知条件，由“巧分式”的定义求出$A$的表达式，再将$A$代入待判断的分式中，通过因式分解和约分，看结果是否为整式，进而判断是否为“巧分式”。
【解析】
(1) ①$\frac{(x - 1)(2x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)} = 2x - 3$（$x≠1$且$x≠-2$），约分后是整式，是“巧分式”；
②$\frac{2x + 5}{x + 3} = \frac{2(x + 3) - 1}{x + 3} = 2 - \frac{1}{x + 3}$，约分后仍为分式，不是“巧分式”；
③$\frac{x^2 - y^2}{x + y} = \frac{(x + y)(x - y)}{x + y} = x - y$（$x≠-y$），约分后是整式，是“巧分式”；
故答案为①③。
(2)
∵分式$\frac{x^2 - 4x + m}{x + n}$是“巧分式”，其“巧整式”为$x - 7$，
∴$x^2 - 4x + m = (x + n)(x - 7)$，
展开右边得：$x^2 + (n - 7)x - 7n$，
根据多项式相等对应系数相等，得：
$\begin{cases}n - 7 = -4 \\ m = -7n\end{cases}$，
解得$\begin{cases}n = 3 \\ m = -21\end{cases}$。
(3)
∵分式$\frac{-2x^3 + 2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$，
∴$A = \frac{-2x^3 + 2x}{1 - x}$，
对分子因式分解：$-2x^3 + 2x = -2x(x^2 - 1) = 2x(1 - x^2) = 2x(1 - x)(1 + x)$，
则$A = \frac{2x(1 - x)(1 + x)}{1 - x} = 2x(1 + x) = 2x^2 + 2x$（$x≠1$），
将$A = 2x^2 + 2x$代入$\frac{2x^3 + 4x^2 + 2x}{A}$中：
$\frac{2x^3 + 4x^2 + 2x}{2x^2 + 2x} = \frac{2x(x^2 + 2x + 1)}{2x(x + 1)} = \frac{2x(x + 1)^2}{2x(x + 1)} = x + 1$（$x≠0$且$x≠-1$），
约分后是整式，故$\frac{2x^3 + 4x^2 + 2x}{A}$是“巧分式”。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①③}$；
(2) $\boldsymbol{m=-21}$，$\boldsymbol{n=3}$；
(3) $\boldsymbol{是“巧分式”}$
【知识点】
分式的约分、因式分解、多项式乘多项式
【点评】
本题为新定义题型，核心是理解“巧分式”与“巧整式”的定义，综合运用分式约分、因式分解、多项式乘法等知识解决问题，考察学生对新定义的理解能力及基础知识的综合运用能力，需注意约分过程中分母不为零的隐含条件。
【难度系数】
0.6