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$\frac{7}{2}$
$\frac{1}{m(m + 2)}$
​$ 2^{1013}x$​
解：原式$=\frac{a - b}{a + b} \div (b - a)=\frac{a - b}{a + b} \cdot \frac{1}{b - a}=\frac{a - b}{a + b} \cdot \left(-\frac{1}{a - b}\right)=-\frac{1}{a + b}$
解：原式$=\frac{x - 1}{x^2 - 49} \div \frac{1 - x}{x^2 - 7x}=\frac{x - 1}{(x - 7)(x + 7)} \cdot \frac{x(x - 7)}{1 - x}=\frac{x - 1}{(x - 7)(x + 7)} \cdot \left(-\frac{x(x - 7)}{x - 1}\right)=-\frac{x}{x + 7}$
解：原式$=\frac{a + 2}{a^2 - 2a + 1} \cdot \frac{a^2 - 4a + 4}{a + 1} \div \frac{a^2 - 4}{a^2 - 1}=\frac{a + 2}{(a - 1)^2} \cdot \frac{(a - 2)^2}{a + 1} \cdot \frac{(a - 1)(a + 1)}{(a - 2)(a + 2)}=\frac{a - 2}{a - 1}$
解：原式$=\left(\frac{-4x}{x^2y}\right)^2 \div \left(\frac{a^{-1}x^2}{2y^{-1}}\right)^2 \cdot \left(\frac{ay}{x}\right)^{-4}=\frac{16x^2}{x^4y^2} \div \frac{x^4y^2}{4a^2} \cdot \frac{x^4}{a^4y^4}=\frac{16}{x^2y^2} \cdot \frac{4a^2}{x^4y^2} \cdot \frac{x^4}{a^4y^4}=\frac{64}{a^2x^2y^8}$
解：(1)设被污染部分为$A，$由题意得：$\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 9} \div \frac{A}{x - 3}=\frac{1}{x + 3}，$
即$\frac{x(x - 4)}{(x - 3)(x + 3)} \cdot \frac{x - 3}{A}=\frac{1}{x + 3}，$化简得$\frac{x(x - 4)}{A}=1，$
$\therefore A=x(x - 4)=x^2 - 4x；$
(2)不同意，当$x=4$时，结果为$\frac{1}{4 + 3}=\frac{1}{7} \neq 1；$
(3)不同意，当$x=0$时，$A=0，$原式无意义
$-\frac{1}{n - 1} + \frac{1}{n}$
解：原式​$=-(\frac {1}{2}+\frac {1}{6}+\frac {1}{12}+...+\frac 1{2025×2026})$​
​$=-(1-\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+...+\frac {1}{2025}-\frac {1}{2026})$​
​$=-(1-\frac {1}{2026})$​
​$=-\frac {2025}{2026}$​
【分析】
首先，我们需要先对所求的分式乘法式子进行化简，再利用已知条件代入计算。首先观察分母$x^2 - 2xy + y^2$，它符合完全平方公式的形式，可分解为$(x-y)^2$，然后通过约分简化式子；接着根据已知$x - 3y = 0$得出$x = 3y$，将其代入化简后的式子，即可求出结果。需要注意的是，$y$不能为0，否则原式分母为0无意义，不过在代入时分母不为0，可放心约分。
【解析】
1. 化简原式：
因为$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$，所以：
$\frac{2x + y}{x^2 - 2xy + y^2} · (x - y) = \frac{2x + y}{(x - y)^2} · (x - y)$
约分后得到：$\frac{2x + y}{x - y}$
2. 代入已知条件计算：
由$x - 3y = 0$，可得$x = 3y$（$y≠0$），将$x = 3y$代入$\frac{2x + y}{x - y}$：
分子：$2×3y + y = 6y + y = 7y$
分母：$3y - y = 2y$
则$\frac{7y}{2y} = \frac{7}{2}$（$y≠0$，可约分）
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
分式化简求值、完全平方公式
【点评】
本题主要考查分式的化简求值及完全平方公式的应用，先化简再代入的思路能有效简化计算过程，同时要注意分式有意义的条件（分母不为0），避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.7
【分析】
已知一个分式与$\frac{m}{m - 2}$的积为$\frac{1}{m^{2} - 4}$，求这个分式，根据“积÷一个乘数=另一个乘数”，可确定用除法计算。首先对分母$m^2-4$利用平方差公式因式分解，再根据分式除法法则，将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数），最后约分得到结果。
【解析】
设这个分式为$A$，根据题意可得：
$A × \frac{m}{m - 2} = \frac{1}{m^{2} - 4}$
则$A = \frac{1}{m^{2} - 4} ÷ \frac{m}{m - 2}$
对$m^2-4$因式分解，由平方差公式得$m^2-4=(m+2)(m-2)$，代入上式：
$A = \frac{1}{(m+2)(m-2)} × \frac{m-2}{m}$
约分（约去公因式$m-2$），得：
$A = \frac{1}{m(m+2)}$
【答案】
$\frac{1}{m(m + 2)}$
【知识点】
1. 分式的乘除法运算；2. 平方差公式因式分解
【点评】
本题考查分式乘除法的逆运算及平方差公式的应用，核心是掌握分式除法的运算法则：除以一个分式等于乘以它的倒数，同时需熟练运用平方差公式对多项式因式分解，以便约分简化计算，计算过程中注意公因式的识别与约分的正确性。
【难度系数】
0.8
【分析】
这道题是数列规律探究类问题，解题思路是先计算前几项的值，找出数列的周期规律，再利用周期计算总乘积。首先依次计算$s_1$、$s_2$、$s_3$、$s_4$，可发现数列以2为周期循环，奇数项为$2x$，偶数项为$\frac{1}{x}$；接着计算每组周期内两项的乘积，再确定2025项中完整周期的数量和剩余项，最后将各部分乘积相乘得到结果。
【解析】
1. 计算前几项，探寻周期：
$ s_{1} = 2x $
$ s_{2} = \frac{2}{s_{1}} = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x} $
$ s_{3} = \frac{2}{s_{2}} = \frac{2}{\frac{1}{x}} = 2x $
$ s_{4} = \frac{2}{s_{3}} = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x} $
由此可知，数列$\{s_n\}$是以2为周期的循环数列，奇数项为$2x$，偶数项为$\frac{1}{x}$。
2. 计算每组周期的乘积：
每一组连续两项的乘积为$ s_{1}s_{2} = 2x × \frac{1}{x} = 2 $。
3. 确定周期数量与剩余项：
$2025÷2=1012$（组）$\dots\dots1$（项），即存在1012个完整周期，剩余1项为$s_{2025}$，由于2025是奇数，故$s_{2025}=2x$。
4. 计算总乘积：
$ s_{1}s_{2} ··· s_{2025} = (s_{1}s_{2})(s_{3}s_{4})···(s_{2023}s_{2024}) × s_{2025} = 2^{1012} × 2x = 2^{1013}x $
【答案】
$2^{1013}x$
【知识点】
数列周期规律、代数式乘法
【点评】
本题核心考查数列周期规律的应用，通过计算前几项发现循环周期是解题突破口，需熟练掌握代数式乘除运算及周期问题中余数的处理，侧重规律探索与运算能力的考查。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题为分式的乘除及乘方混合运算，解题需遵循分式运算规则：先算乘方，再算乘除；分式除法要转化为乘法（除以一个数或分式等于乘以其倒数）；对可分解的多项式先因式分解，便于约分，同时注意互为相反数因式的符号转化。
（1）先将除法转化为乘法，把$(b - a)$变形为$-(a - b)$，再与分子的$(a - b)$约分，化简得到结果；
（2）先分解因式：$x^2-49=(x-7)(x+7)$，$x^2-7x=x(x-7)$，再将除法转化为乘法，把$(1 - x)$变形为$-(x - 1)$，约去相同因式后化简；
（3）先分解所有多项式：$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$a^2-4a+4=(a-2)^2$，$a^2-4=(a-2)(a+2)$，$a^2-1=(a-1)(a+1)$，将除法转化为乘法后，分子分母约去相同因式，得到最简结果；
（4）先处理负指数幂（$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$，$(\frac{m}{n})^{-k}=(\frac{n}{m})^k$），再计算各部分乘方，将除法转化为乘法，最后通过约分和同底数幂的运算法则计算系数与字母的指数，得到结果。
【解析】
（1）$\frac{a - b}{a + b} ÷ (b - a)$
$=\frac{a - b}{a + b} × \frac{1}{b - a}$
$=\frac{a - b}{a + b} × \frac{1}{-(a - b)}$
$=-\frac{1}{a + b}$
（2）$\frac{x - 1}{x^{2} - 49} ÷ \frac{1 - x}{x^{2} - 7x}$
$=\frac{x - 1}{(x - 7)(x + 7)} ÷ \frac{1 - x}{x(x - 7)}$
$=\frac{x - 1}{(x - 7)(x + 7)} × \frac{x(x - 7)}{-(x - 1)}$
$=-\frac{x}{x + 7}$
（3）$\frac{a + 2}{a^{2} - 2a + 1} · \frac{a^{2} - 4a + 4}{a + 1} ÷ \frac{a^{2} - 4}{a^{2} - 1}$
$=\frac{a + 2}{(a - 1)^2} · \frac{(a - 2)^2}{a + 1} × \frac{(a - 1)(a + 1)}{(a - 2)(a + 2)}$
$=\frac{(a + 2)(a - 2)^2(a - 1)(a + 1)}{(a - 1)^2(a + 1)(a - 2)(a + 2)}$
$=\frac{a - 2}{a - 1}$
（4）$(\frac{-4x}{x^{2}y})^{2} ÷ (\frac{a^{-1}x^{2}}{2y^{-1}})^{2} · (\frac{ay}{x})^{-4}$
$=\frac{16x^2}{x^4y^2} ÷ (\frac{x^2y}{2a})^2 · (\frac{x}{ay})^4$
$=\frac{16}{x^2y^2} ÷ \frac{x^4y^2}{4a^2} · \frac{x^4}{a^4y^4}$
$=\frac{16}{x^2y^2} × \frac{4a^2}{x^4y^2} × \frac{x^4}{a^4y^4}$
$=\frac{64}{x^2a^2y^8}$
【答案】
（1）$-\frac{1}{a + b}$；（2）$-\frac{x}{x + 7}$；（3）$\frac{a - 2}{a - 1}$；（4）$\frac{64}{x^{2}a^{2}y^{8}}$
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；负整数指数幂
【点评】
本题综合考查分式的乘除、乘方及负整数指数幂的运算，需要熟练掌握分式运算顺序、除法变乘法法则，以及因式分解在约分中的应用，同时要注意符号和指数的正确处理，对运算能力要求较高，是巩固分式运算知识的典型题型。
【难度系数】
0.6
【分析】
（1）要确定被污染部分，可先设其为$A$，利用分式除法法则将原式转化为乘法，对分子分母因式分解约分后，结合已知结果建立等式求解$A$；
（2）判断$x=4$时分式的值，需代入$x=4$观察被除式分子的情况，结合分式有意义的条件分析分式值；
（3）判断$x=0$时能否代入，需依据分式有意义的条件，分析此时除数是否为0，确定分式是否有意义。
【解析】
（1）设被墨水污染的部分为$A$，则原式为：
$\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 9} ÷ \frac{x· A}{x - 3}$
根据分式除法法则，转化为乘法运算：
$\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 9} × \frac{x - 3}{x· A}$
对分子分母因式分解：$x^2 - 4x = x(x - 4)$，$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$，代入得：
$\frac{x(x - 4)}{(x + 3)(x - 3)} × \frac{x - 3}{x· A}$
约分（$x≠0$且$x≠\pm3$）后得：
$\frac{x - 4}{(x + 3)A}$
已知结果为$\frac{1}{x + 3}$，则$\frac{x - 4}{(x + 3)A} = \frac{1}{x + 3}$，两边同乘$x + 3$（$x≠ -3$），解得$A = x - 4$。
（2）当$x = 4$时，被除式的分子$x^2 - 4x = 4^2 - 4×4 = 0$，若分式有意义（除数不为0），则分式的值为0，而非1，所以不同意小明的观点。
（3）当$x = 0$时，除数为$\frac{0×(...)}{0 - 3} = 0$，分式除法中除数不能为0，此时分式无意义，无法代入求值，所以不同意小丽的观点。
【答案】
（1）$x - 4$；
（2）不同意，此时分式的值为0；
（3）不同意，此时除数为0，分式无意义。
【知识点】
分式的除法运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题围绕分式的运算与有意义的条件展开，解题需熟练掌握分式除法的转化方法，牢记分式有意义的核心要求（分母、除数均不为0），代入求值前务必先判断分式是否有意义，避免错误。
【难度系数】
0.6
【分析】
(1) 观察题目给出的等式，等式左边是符号为负的分数与相邻正分数相乘，等式右边是这两个分数的和，对比已知等式的结构，可直接归纳出对应式子的结果形式。
(2) 计算求和时，先利用(1)中猜想的结论，将每个乘法算式转化为加法算式，展开后中间的项会相互抵消，仅剩下首尾两项，最后计算剩余项的和即可得到结果。
【解析】
(1) 根据已知等式：
$-1 × \frac{1}{2} = -1 + \frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2} × \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$，$-\frac{1}{3} × \frac{1}{4} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$，
可猜想：$-\frac{1}{n - 1} × \frac{1}{n} = -\frac{1}{n - 1} + \frac{1}{n}$。
(2) 利用(1)的结论转化原式并计算：
$\begin{aligned}&(-1 × \frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2} × \frac{1}{3}) + (-\frac{1}{3} × \frac{1}{4}) + ··· + (-\frac{1}{2025} × \frac{1}{2026})\\=&(-1 + \frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (-\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + ··· + (-\frac{1}{2025} + \frac{1}{2026})\\=&-1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ··· - \frac{1}{2025} + \frac{1}{2026}\\=&-1 + \frac{1}{2026}\\=&\frac{-2026 + 1}{2026}\\=&\frac{-2025}{2026}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\frac{1}{n - 1} + \frac{1}{n}$；(2) $\frac{-2025}{2026}$
【知识点】
规律探究、裂项相消法
【点评】
本题通过观察具体等式归纳一般规律，再利用规律进行有理数的简便运算，既考查了观察归纳能力，又强化了有理数简便运算的技巧，裂项相消是解决此类分数求和问题的有效方法，能大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
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