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【分析】
这是一道分式乘除混合运算的选择题，解题核心是遵循分式乘除的同级运算规则：从左到右依次计算，同时运用“除以一个分式等于乘以它的倒数”的法则，逐个对选项进行计算验证，判断结果是否正确。
【解析】
我们根据分式乘除运算顺序和法则，逐一计算各选项：
选项A：$ m ÷ n · \frac{1}{n} = m · \frac{1}{n} · \frac{1}{n} = \frac{m}{n^2} ≠ m $，故A错误；
选项B：$ m ÷ n · m = m · \frac{1}{n} · m = \frac{m^2}{n} ≠ m $，故B错误；
选项C：$ \frac{1}{m} ÷ m · m ÷ \frac{1}{m} = \frac{1}{m} · \frac{1}{m} · m · m = \frac{1×1×m×m}{m×m} = 1 $，故C正确；
选项D：$ m^{2} ÷ \frac{1}{m} ÷ m^{2} = m^2 · m · \frac{1}{m^2} = m ≠ 1 $，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式乘除混合运算、同级运算顺序
【点评】
本题重点考查分式乘除混合运算的基本规则，易错点在于违背同级运算从左到右的顺序，错误地优先计算后面的乘除运算。解题时需严格遵循运算顺序，熟练运用分式乘除法法则，避免因运算顺序错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7

【分析】
这是一道分式混合运算题，解题需遵循分式运算顺序：先算括号内的减法，再将除法转化为乘法，最后通过因式分解和约分化简得到结果。首先把括号内的1通分，转化为与$\frac{1}{x+1}$同分母的分式，再进行减法运算；接着利用“除以一个分式等于乘以它的倒数”将除法转为乘法；然后对$x^2-1$用平方差公式因式分解，最后约去分子分母的公因式，即可得到对应选项的结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(1 - \frac{1}{x + 1}) ÷ \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\\=&(\frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1}) × \frac{x^{2}-1}{x^{2}}\\=&\frac{x+1-1}{x+1} × \frac{(x+1)(x-1)}{x^{2}}\\=&\frac{x}{x+1} × \frac{(x+1)(x-1)}{x^{2}}\\=&\frac{x-1}{x}\end{aligned}$
因此结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式混合运算、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题考查分式的基本运算能力，核心是掌握分式运算顺序及因式分解在约分中的应用。解题时需注意：一是整数通分要准确，将1转化为同分母分式；二是除法变乘法时要正确取倒数；三是因式分解要到位，才能顺利约分得到最简分式，避免因步骤失误导致结果错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
这六道题均为分式的混合运算，解题思路遵循分式运算的基本法则：先算括号内的运算，再进行乘除运算（乘除为同级运算，从左到右依次进行）；除法运算需转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数）；遇到异分母分式加减，先通分化为同分母分式再计算；同时要灵活运用因式分解（如平方差公式、完全平方公式）来约分简化计算。
（1）题是分式的乘除混合运算，先统一转化为乘法，确定符号后，将分子分母的因式分别相乘，再约分得到结果；
（2）题先计算括号内的减法，通分后化简，再将除法转化为乘法，利用因式分解约分；
（3）题先将括号内的整式与分式的差通分，转化为一个分式，再将除法转化为乘法，约去公因式得到结果；
（4）题先对括号内的分式通分（利用平方差公式分解分母），计算减法后，将除法转化为乘法，约分简化；
（5）题先计算括号内的加法，通分后化简，再将除法转化为乘法，利用完全平方公式分解分母，约分得到结果；
（6）题先计算除法（利用平方差公式、完全平方公式分解因式），约分后再计算减法，通分得到最终结果。
【解析】
（1）$\begin{aligned}&\frac{-3a}{b} ÷ (-\frac{6b}{a^{2}}) · \frac{ab^{2}}{-ab} \\=&\frac{-3a}{b} × (-\frac{a^{2}}{6b}) × \frac{ab^{2}}{-ab} \\=&\frac{3a·a^{2}·ab^{2}}{b·6b·(-ab)} \\=&\frac{3a^{4}b^{2}}{-6ab^{2}} \\=&-\frac{a^{3}}{2b}\end{aligned}$
（2）$\begin{aligned}&(1 - \frac{x}{x - 1}) ÷ \frac{1}{x^{2} - x} \\=&(\frac{x-1}{x-1} - \frac{x}{x-1}) × (x^{2}-x) \\=&\frac{x-1-x}{x-1} × x(x-1) \\=&\frac{-1}{x-1} × x(x-1) \\=&-x\end{aligned}$
（3）$\begin{aligned}&(x - \frac{1}{y}) ÷ (y - \frac{1}{x}) \\=&\frac{xy - 1}{y} ÷ \frac{xy - 1}{x} \\=&\frac{xy - 1}{y} × \frac{x}{xy - 1} \\=&\frac{x}{y}\end{aligned}$
（4）$\begin{aligned}&(\frac{1}{a - b} - \frac{b}{a^{2} - b^{2}}) ÷ \frac{a}{a + b} \\=&(\frac{a+b}{(a-b)(a+b)} - \frac{b}{(a-b)(a+b)}) × \frac{a+b}{a} \\=&\frac{a+b - b}{(a-b)(a+b)} × \frac{a+b}{a} \\=&\frac{a}{(a-b)(a+b)} × \frac{a+b}{a} \\=&\frac{1}{a - b}\end{aligned}$
（5）$\begin{aligned}&\frac{a + 1}{a^{2} - 2a + 1} ÷ (1 + \frac{2}{a - 1}) \\=&\frac{a+1}{(a-1)^2} ÷ (\frac{a-1}{a-1} + \frac{2}{a-1}) \\=&\frac{a+1}{(a-1)^2} ÷ \frac{a-1+2}{a-1} \\=&\frac{a+1}{(a-1)^2} × \frac{a-1}{a+1} \\=&\frac{1}{a - 1}\end{aligned}$
（6）$\begin{aligned}&1 - \frac{a - b}{a - 2b} ÷ \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - 4ab + 4b^{2}} \\=&1 - \frac{a - b}{a - 2b} × \frac{(a-2b)^2}{(a-b)(a+b)} \\=&1 - \frac{a-2b}{a+b} \\=&\frac{a+b}{a+b} - \frac{a-2b}{a+b} \\=&\frac{a+b - (a-2b)}{a+b} \\=&\frac{3b}{a+b}\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{-\frac{a^{3}}{2b}}$；（2）$\boldsymbol{-x}$；（3）$\boldsymbol{\frac{x}{y}}$；（4）$\boldsymbol{\frac{1}{a - b}}$；（5）$\boldsymbol{\frac{1}{a - 1}}$；（6）$\boldsymbol{\frac{3b}{a + b}}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解（公式法），分式的通分约分
【点评】
本题主要考查分式的混合运算，需要熟练掌握分式的乘除、加减运算法则，以及因式分解在分式化简中的应用。运算过程中要注意符号的处理，同级运算从左到右依次进行，有括号先算括号内的，通过通分、约分逐步简化式子，提升运算的准确性与熟练度。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先，我们根据给定的递推公式，依次推导$S_2$到$S_7$的表达式，观察到相邻项的分子分母存在可约分的关系。通过计算$S_1$到$S_7$的乘积，利用约分简化式子，得到仅含$a$的分式，再结合乘积等于1的条件列方程求解$a$。具体思路为：先由$S_1$算出$S_2$，再由$S_2$算出$S_3$，以此类推得到所有$S_n$；将这些式子相乘，消去中间的分子分母，得到最简分式；最后解方程求出$a$的值。
【解析】
1. 计算各项表达式：
$S_1 = \frac{1}{a}$
$S_2 = 1 + \frac{1}{S_1} = 1 + a$
$S_3 = 1 + \frac{1}{S_2} = 1 + \frac{1}{1+a} = \frac{(1+a)+1}{1+a} = \frac{a+2}{a+1}$
$S_4 = 1 + \frac{1}{S_3} = 1 + \frac{a+1}{a+2} = \frac{(a+2)+(a+1)}{a+2} = \frac{2a+3}{a+2}$
$S_5 = 1 + \frac{1}{S_4} = 1 + \frac{a+2}{2a+3} = \frac{(2a+3)+(a+2)}{2a+3} = \frac{3a+5}{2a+3}$
$S_6 = 1 + \frac{1}{S_5} = 1 + \frac{2a+3}{3a+5} = \frac{(3a+5)+(2a+3)}{3a+5} = \frac{5a+8}{3a+5}$
$S_7 = 1 + \frac{1}{S_6} = 1 + \frac{3a+5}{5a+8} = \frac{(5a+8)+(3a+5)}{5a+8} = \frac{8a+13}{5a+8}$
2. 计算连乘积：
$S_1·S_2·…·S_7 = \frac{1}{a}·(1+a)·\frac{a+2}{a+1}·\frac{2a+3}{a+2}·\frac{3a+5}{2a+3}·\frac{5a+8}{3a+5}·\frac{8a+13}{5a+8}$
通过约分，中间的$(1+a)$与$\frac{1}{a+1}$、$(a+2)$与$\frac{1}{a+2}$等依次消去，最终得到：
$S_1·S_2·…·S_7 = \frac{8a+13}{a}$
3. 解方程：
已知$S_1·S_2·…·S_7 = 1$，则$\frac{8a+13}{a}=1$
去分母得：$8a+13=a$
移项合并同类项得：$7a=-13$
解得：$a=-\frac{13}{7}$
【答案】
$-\frac{13}{7}$
【知识点】
分式的运算，递推数列，一元一次方程求解
【点评】
本题考查分式的递推运算与方程求解，核心是通过推导发现连乘时的约分规律，简化计算过程。需要熟练掌握分式的加减乘除运算，同时具备观察数列规律、化简式子的能力，在推导多项表达式时需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.4