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$-\frac{13}{7}$
解：化简过程：原式$=(\frac{3}{x-1}-x-1)\cdot\frac{x-1}{x^2-4x+4}$
$=(\frac{3}{x-1}-\frac{(x+1)(x-1)}{x-1})\cdot\frac{x-1}{(x-2)^2}$
$=\frac{3-(x^2-1)}{x-1}\cdot\frac{x-1}{(x-2)^2}$
$=\frac{4-x^2}{x-1}\cdot\frac{x-1}{(x-2)^2}$
$=-\frac{(x+2)(x-2)}{x-1}\cdot\frac{x-1}{(x-2)^2}$
$=-\frac{x+2}{x-2}$
当$x=3$时，原式$=-\frac{3+2}{3-2}=-5$
解： 化简过程：原式$=\frac{1}{x+1}-\frac{x+3}{x^2-1}\cdot\frac{x^2-2x+1}{x^2+6x+9}$
$=\frac{1}{x+1}-\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{(x-1)^2}{(x+3)^2}$
$=\frac{1}{x+1}-\frac{x-1}{(x+1)(x+3)}$
$=\frac{x+3-(x-1)}{(x+1)(x+3)}$
$=\frac{4}{(x+1)(x+3)}$
当$x=-2$时，原式$=\frac{4}{(-2+1)(-2+3)}=\frac{4}{(-1)(1)}=-4$
解： 由$a^2+2a-1=0，$$a\neq0，$两边除以$a$得$a+2-\frac{1}{a}=0，$即$a-\frac{1}{a}=-2。$
则$(a+\frac{1}{a})^2=a^2+2+\frac{1}{a^2}=(a^2+\frac{1}{a^2})+2=[(a-\frac{1}{a})^2+2]+2=(-2)^2+2+2=8$
解：化简$M$：$M=(1+\frac{1}{x-1})\div\frac{1}{x^2-1}-(x-1)$
$=\frac{x}{x-1}\times(x-1)(x+1)-x+1$
$=x(x+1)-x+1=x^2+1$
化简$N$：$N=(\frac{3x}{x+1}-\frac{x}{x+1})\cdot\frac{x^2-1}{x}+2$
$=\frac{2x}{x+1}\times\frac{(x-1)(x+1)}{x}+2=2(x-1)+2=2x$
$M-N=x^2+1-2x=(x-1)^2，$因$x\neq1，$$(x-1)^2＞0，$故$M＞N，$小刚结论正确
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路逐步推导：
1. 首先根据“路程=速度×时间”，求出甲地到乙地的总路程；
2. 接着计算提速后的行驶速度，再利用“时间=路程÷速度”求出提速后到达乙地所需的时间；
3. 最后用原来的行驶时间减去提速后的行驶时间，得到提前到达的时间，再化简表达式，对比选项即可得出答案。
【解析】
1. 计算甲乙两地的总路程：
已知汽车原速度为每小时$s_1$km，行驶时间为$t$h，根据路程公式$路程=速度×时间$，可得总路程$s = s_1 × t = s_1t$（km）。
2. 计算提速后的速度：
每小时多行驶$s_2$km，因此提速后的速度$v' = s_1 + s_2$（km/h）。
3. 计算提速后到达乙地的时间：
根据时间公式$时间=路程÷速度$，可得提速后所需时间$t' = \frac{s}{v'} = \frac{s_1t}{s_1 + s_2}$（h）。
4. 计算提前到达的时间：
提前的时间等于原时间减去提速后的时间，即：
$\begin{aligned}\Delta t &= t - t'\\&= t - \frac{s_1t}{s_1 + s_2}\\&= \frac{t(s_1 + s_2)}{s_1 + s_2} - \frac{s_1t}{s_1 + s_2}\\&= \frac{s_1t + s_2t - s_1t}{s_1 + s_2}\\&= \frac{s_2t}{s_1 + s_2} \mathrm{（h）}\end{aligned}$
因此提前到达的时间为$\frac{s_2t}{s_1 + s_2}$h，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
路程速度时间关系、分式的化简运算
【点评】
本题核心考查路程、速度、时间三者的基本关系及分式的通分化简运算，解题的关键是理清各物理量之间的逻辑关系，通过公式变形逐步推导，注意通分计算时的准确性，避免因公式混淆或计算失误导致错误。
【难度系数】
0.7
【分析】
要计算$\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$的值，可先将其通分变形为$\frac{m^2 + n^2}{mn}$，因此关键是找到$m^2 + n^2$与$mn$的关系。首先对已知等式$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{7}{m + n}$左边进行通分，再通过交叉相乘、展开完全平方公式、移项化简，得到$m^2 + n^2$与$mn$的关系式，最后代入变形后的所求式子即可算出结果。
【解析】
1. 对已知等式左边通分：
$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{n + m}{mn}$，结合已知$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{7}{m + n}$，可得：
$\frac{m + n}{mn} = \frac{7}{m + n}$
2. 交叉相乘（由分式有意义可知$m ≠ 0$，$n ≠ 0$，$m + n ≠ 0$，等式两边可同时乘$mn(m + n)$）：
$(m + n)^2 = 7mn$
3. 展开左边的完全平方：
$m^2 + 2mn + n^2 = 7mn$
4. 移项化简得到$m^2 + n^2$的表达式：
$m^2 + n^2 = 7mn - 2mn = 5mn$
5. 化简所求式子并代入计算：
$\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{n^2 + m^2}{mn} = \frac{5mn}{mn} = 5$（$mn ≠ 0$，可约分）
【答案】
5
【知识点】
分式通分，完全平方公式，分式化简求值
【点评】
本题考查分式的运算及整体代入思想的应用，解题核心是通过对已知等式变形得到$m^2 + n^2$与$mn$的关系，再整体代入所求式子简化计算，需注意分式有意义的条件（分母不为0）。
【难度系数】
0.7
【分析】
首先，我们根据给定的递推公式，依次推导$S_2$到$S_7$的表达式，观察到相邻项的分子分母存在可约分的关系。通过计算$S_1$到$S_7$的乘积，利用约分简化式子，得到仅含$a$的分式，再结合乘积等于1的条件列方程求解$a$。具体思路为：先由$S_1$算出$S_2$，再由$S_2$算出$S_3$，以此类推得到所有$S_n$；将这些式子相乘，消去中间的分子分母，得到最简分式；最后解方程求出$a$的值。
【解析】
1. 计算各项表达式：
$S_1 = \frac{1}{a}$
$S_2 = 1 + \frac{1}{S_1} = 1 + a$
$S_3 = 1 + \frac{1}{S_2} = 1 + \frac{1}{1+a} = \frac{(1+a)+1}{1+a} = \frac{a+2}{a+1}$
$S_4 = 1 + \frac{1}{S_3} = 1 + \frac{a+1}{a+2} = \frac{(a+2)+(a+1)}{a+2} = \frac{2a+3}{a+2}$
$S_5 = 1 + \frac{1}{S_4} = 1 + \frac{a+2}{2a+3} = \frac{(2a+3)+(a+2)}{2a+3} = \frac{3a+5}{2a+3}$
$S_6 = 1 + \frac{1}{S_5} = 1 + \frac{2a+3}{3a+5} = \frac{(3a+5)+(2a+3)}{3a+5} = \frac{5a+8}{3a+5}$
$S_7 = 1 + \frac{1}{S_6} = 1 + \frac{3a+5}{5a+8} = \frac{(5a+8)+(3a+5)}{5a+8} = \frac{8a+13}{5a+8}$
2. 计算连乘积：
$S_1·S_2·…·S_7 = \frac{1}{a}·(1+a)·\frac{a+2}{a+1}·\frac{2a+3}{a+2}·\frac{3a+5}{2a+3}·\frac{5a+8}{3a+5}·\frac{8a+13}{5a+8}$
通过约分，中间的$(1+a)$与$\frac{1}{a+1}$、$(a+2)$与$\frac{1}{a+2}$等依次消去，最终得到：
$S_1·S_2·…·S_7 = \frac{8a+13}{a}$
3. 解方程：
已知$S_1·S_2·…·S_7 = 1$，则$\frac{8a+13}{a}=1$
去分母得：$8a+13=a$
移项合并同类项得：$7a=-13$
解得：$a=-\frac{13}{7}$
【答案】
$-\frac{13}{7}$
【知识点】
分式的运算，递推数列，一元一次方程求解
【点评】
本题考查分式的递推运算与方程求解，核心是通过推导发现连乘时的约分规律，简化计算过程。需要熟练掌握分式的加减乘除运算，同时具备观察数列规律、化简式子的能力，在推导多项表达式时需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.4
【分析】
（1）解题思路：先对括号内的式子通分，将整式$-x-1$转化为与$\frac{3}{x-1}$同分母的分式，计算括号内的减法后对分子因式分解；再将后面分式的分母因式分解，根据分式乘法法则约分得到最简分式，最后代入$x=3$计算求值。
（2）解题思路：按照分式混合运算顺序，先计算乘法部分，对乘法中各分式的分子、分母因式分解后约分简化，再与前面的$\frac{1}{x+1}$进行减法运算，通分合并分子得到最简分式，最后代入$x=-2$计算求值。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}& ( \frac{3}{x - 1} - x - 1 ) · \frac{x - 1}{x^{2} - 4x + 4} \\=& ( \frac{3}{x - 1} - \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} ) · \frac{x - 1}{(x - 2)^2} \\=& \frac{3 - (x^2 - 1)}{x - 1} · \frac{x - 1}{(x - 2)^2} \\=& \frac{3 - x^2 + 1}{x - 1} · \frac{x - 1}{(x - 2)^2} \\=& \frac{-(x^2 - 4)}{x - 1} · \frac{x - 1}{(x - 2)^2} \\=& \frac{-(x - 2)(x + 2)}{x - 1} · \frac{x - 1}{(x - 2)^2} \\=& -\frac{x + 2}{x - 2}\end{aligned}$
当$x = 3$时，代入得：
$-\frac{3 + 2}{3 - 2} = -\frac{5}{1} = -5$
（2）
$\begin{aligned}& \frac{1}{x + 1} - \frac{x + 3}{x^{2} - 1} · \frac{x^{2} - 2x + 1}{x^{2} + 6x + 9} \\=& \frac{1}{x + 1} - \frac{x + 3}{(x - 1)(x + 1)} · \frac{(x - 1)^2}{(x + 3)^2} \\=& \frac{1}{x + 1} - \frac{x - 1}{(x + 1)(x + 3)} \\=& \frac{x + 3}{(x + 1)(x + 3)} - \frac{x - 1}{(x + 1)(x + 3)} \\=& \frac{(x + 3) - (x - 1)}{(x + 1)(x + 3)} \\=& \frac{x + 3 - x + 1}{(x + 1)(x + 3)} \\=& \frac{4}{(x + 1)(x + 3)}\end{aligned}$
当$x = -2$时，代入得：
$\frac{4}{(-2 + 1)(-2 + 3)} = \frac{4}{(-1)×1} = -4$
【答案】
（1）化简结果为$-\frac{x + 2}{x - 2}$，求值结果为$-5$；
（2）化简结果为$\frac{4}{(x + 1)(x + 3)}$，求值结果为$-4$
【知识点】
分式的化简求值、分式混合运算、因式分解
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是遵循分式混合运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号内的；运算中需灵活运用平方差公式、完全平方公式进行因式分解，通过约分简化计算；代入数值前要确保分式分母不为0，本题给定的$x$值均满足分式有意义的条件。
【难度系数】
0.6
【分析】
要计算$(a + \frac{1}{a})^{2}$的值，先根据完全平方公式可知$(a + \frac{1}{a})^{2}=a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$，因此需先求出$a^2 + \frac{1}{a^2}$的值。
已知$a^2 + 2a - 1 = 0$，首先判断$a≠0$（若$a=0$，代入方程左边得$-1≠0$，矛盾），所以可在方程两边同时除以$a$，将方程变形为含$a - \frac{1}{a}$的形式，再对$a - \frac{1}{a}$平方，就能得到$a^2 + \frac{1}{a^2}$相关的式子，进而求出$a^2 + \frac{1}{a^2}$，最后代入完全平方公式展开式计算目标式的值。
【解析】
因为$a^2 + 2a - 1 = 0$，若$a=0$，则左边为$-1≠0$，故$a≠0$。
在$a^2 + 2a - 1 = 0$两边同时除以$a$，得：
$a + 2 - \frac{1}{a} = 0$，
移项可得：$a - \frac{1}{a} = -2$，
对$a - \frac{1}{a} = -2$两边平方：
$(a - \frac{1}{a})^2 = (-2)^2$，
根据完全平方公式展开左边：$a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 4$，
移项得：$a^2 + \frac{1}{a^2} = 4 + 2 = 6$，
又因为$(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$，
将$a^2 + \frac{1}{a^2}=6$代入得：
$(a + \frac{1}{a})^2 = 6 + 2 = 8$。
【答案】
$\boxed{8}$
【知识点】
完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用及等式性质的应用，解题关键是通过对已知方程合理变形，建立已知条件与所求式子之间的联系，体现了整体代入的数学思想，需注意先判断$a≠0$，才能在方程两边同时除以$a$。
【难度系数】
0.6
【分析】
要判断小刚和小军谁的结论正确，需先分别化简M和N两个代数式，再通过作差法计算M-N的结果，根据结果的正负性来比较M与N的大小。具体思路为：先利用分式的运算法则对M、N进行化简，再计算M-N并将其整理为完全平方形式，结合x的取值范围判断差的正负，进而得出结论。
【解析】
步骤1：化简M
$\begin{aligned}M&=(1 + \frac{1}{x - 1}) ÷ \frac{1}{x^2 - 1} - (x - 1)\\&=(\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}) × (x^2 - 1) - (x - 1)\\&=\frac{x}{x - 1} × (x - 1)(x + 1) - (x - 1)\\&=x(x + 1) - x + 1\\&=x^2 + x - x + 1\\&=x^2 + 1\end{aligned}$
步骤2：化简N
$\begin{aligned}N&=(\frac{3x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}) · \frac{x^2 - 1}{x} + 2\\&=\frac{2x}{x + 1} · \frac{(x - 1)(x + 1)}{x} + 2\\&=2(x - 1) + 2\\&=2x - 2 + 2\\&=2x\end{aligned}$
步骤3：比较M与N的大小
计算$M - N$：
$\begin{aligned}M - N&=(x^2 + 1) - 2x\\&=x^2 - 2x + 1\\&=(x - 1)^2\end{aligned}$
已知$x ≠ 1$，则$(x - 1)^2 ＞ 0$，即$M - N ＞ 0$，故$M ＞ N$。
因此小刚的结论正确。
【答案】
小刚的结论正确，理由：化简后$M = x^2 + 1$，$N = 2x$，$M - N = (x - 1)^2$，因$x ≠ 1$，所以$(x - 1)^2 ＞ 0$，即$M ＞ N$。
【知识点】
分式的化简求值，作差法比较大小，完全平方公式
【点评】
本题主要考查分式的运算及代数式大小比较，关键是熟练运用分式运算法则化简M、N，再通过作差法结合完全平方公式判断差的正负。解题时需注意x的取值范围，避免分母为0的情况，同时要准确运用完全平方公式进行变形。
【难度系数】
0.6
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