第91页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

C

3y²+3y-1=0

-3

解：$x+4=3x，$解得$x=2$

所以第二个方程的解为$x=-2$

原式$=-\frac {2m}{m+1}+\frac 23=1$

解得$m=-\frac {1}{7}$

$ x₁=c，$$x₂=\frac 1{c}$

$ (x-1)+\frac 1{x-1}$

$=(a-1)+\frac 1{a-1}$

$ x₁=a，$$x₂=\frac {a}{a-1}$

【分析】
首先根据互为倒数的两个数的乘积为1，列出关于x的分式方程；接着将方程化简，通过去分母转化为整式方程求解；最后需要检验解是否满足分式有意义的条件（分母不为0），排除增根，确定符合题意的x值。
【解析】
1. 根据互为倒数的定义，可得：
$\dfrac{x - 3}{x - 2} × \dfrac{2 - x}{3x + 2} = 1$
2. 化简左边：
因为$2 - x = -(x - 2)$，所以左边变形为$\dfrac{x - 3}{x - 2} × \dfrac{-(x - 2)}{3x + 2} = \dfrac{3 - x}{3x + 2}$，方程化为：
$\dfrac{3 - x}{3x + 2} = 1$
3. 去分母（需满足$3x + 2 ≠ 0$，即$x ≠ -\dfrac{2}{3}$）：
$3 - x = 3x + 2$
4. 移项、合并同类项：
$-x - 3x = 2 - 3$
$-4x = -1$
解得$x = \dfrac{1}{4}$
5. 检验：
当$x = \dfrac{1}{4}$时，$x - 2 = \dfrac{1}{4} - 2 = -\dfrac{7}{4} ≠ 0$，$3x + 2 = 3×\dfrac{1}{4} + 2 = \dfrac{11}{4} ≠ 0$，分式有意义，且两分式乘积为1，符合题意；$x=2$时原分式分母为0，无意义，需排除。
【答案】
C
【知识点】
倒数的定义，分式方程的解法，分式有意义的条件
【点评】
本题结合倒数的定义考查分式方程的求解，解题关键是牢记互为倒数的两数乘积为1，同时解分式方程必须检验，排除使分母为0的增根，避免错解。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先观察原方程的结构，题目已给出换元设定$\dfrac{x^{2}+1}{x}=y$，我们需要将原方程中的相关部分用$y$替换。原方程中$\dfrac{x^{2}+1}{x}$可直接替换为$y$，对于$\dfrac{x}{3(x^{2}+1)}$，可先变形为$\dfrac{1}{3×\dfrac{x^{2}+1}{x}}$，再代入$\dfrac{x^{2}+1}{x}=y$，得到$\dfrac{1}{3y}$，最后保留原方程中的常数项和等号，即可得到关于$y$的方程。
【解析】
设$\dfrac{x^{2}+1}{x}=y$，则$\dfrac{x}{x^{2}+1}=\dfrac{1}{y}$，因此$\dfrac{x}{3(x^{2}+1)}=\dfrac{1}{3y}$。
将原方程中的$\dfrac{x^{2}+1}{x}$替换为$y$，$\dfrac{x}{3(x^{2}+1)}$替换为$\dfrac{1}{3y}$，可得：
$y - \dfrac{1}{3y} + 1 = 0$
【答案】
$ y - \dfrac{1}{3y} + 1 = 0 $
【知识点】
换元法解分式方程
【点评】
本题考查换元法在分式方程中的应用，核心是通过换元将复杂的分式方程转化为形式简单的方程，降低解题难度。解题关键在于准确找到原方程中与所设元对应的分式，并正确进行倒数变形替换，需注意分式变形的合理性。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先观察方程左边的分式，每个分式的分母均为两个相差3的一次整式乘积，适合用裂项相消法化简。先将左边每个分式拆成两个分式的差的$\frac{1}{3}$，相加后中间项抵消，简化左边表达式；再将右边的分式化简为分母含$(x-1)$的形式，然后通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得解是否使原方程分母为0，排除增根。
【解析】
1. 裂项化简左边：
根据分式裂项公式$\frac{1}{a(a+d)}=\frac{1}{d}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d})$（此处$d=3$），对左边各项拆分：
$\frac{1}{(x - 1)(x + 2)}=\frac{1}{3}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2})$
$\frac{1}{(x + 2)(x + 5)}=\frac{1}{3}(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+5})$
$\frac{1}{(x + 5)(x + 8)}=\frac{1}{3}(\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+8})$
$\frac{1}{(x + 8)(x + 11)}=\frac{1}{3}(\frac{1}{x+8}-\frac{1}{x+11})$
将上述式子代入左边相加，中间项抵消：
左边$=\frac{1}{3}[\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+8}+\frac{1}{x+8}-\frac{1}{x+11}]$
$=\frac{1}{3}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+11})$
通分计算：
$=\frac{1}{3}×\frac{(x+11)-(x-1)}{(x-1)(x+11)}=\frac{1}{3}×\frac{12}{(x-1)(x+11)}=\frac{4}{(x-1)(x+11)}$
2. 化简右边：
$\frac{1}{3x - 3}-\frac{1}{24}=\frac{1}{3(x-1)}-\frac{1}{24}$
3. 去分母转化为整式方程：
原方程变为$\frac{4}{(x-1)(x+11)}=\frac{1}{3(x-1)}-\frac{1}{24}$
两边同乘$24(x-1)(x+11)$（$x≠1$且$x≠-11$），得：
$24×4=8(x+11)-(x-1)(x+11)$
计算得：
$96=8x+88-(x^2+10x-11)$
$96=8x+88-x^2-10x+11$
整理为整式方程：
$x^2+2x-3=0$
4. 求解整式方程：
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x=-3$或$x=1$
5. 检验增根：
当$x=1$时，原方程分母$(x-1)=0$，为增根，舍去；
当$x=-3$时，原方程各分母均不为0，代入验证等式成立。
【答案】
$-3$
【知识点】
裂项相消法，分式方程求解，因式分解
【点评】
本题核心考查裂项相消法在分式化简中的应用，以及分式方程的求解步骤。解题关键是通过裂项将复杂分式和简化，同时解分式方程必须检验，排除使分母为0的增根，避免错误。
【难度系数】
0.4

【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步进行：首先求解第一个分式方程$\dfrac{x + 4}{x}=3$的解；根据“两个方程的解互为相反数”，得到第二个方程的解；最后将第二个方程的解代入方程$\dfrac{mx}{m + 1}-\dfrac{2}{x - 1}=1$，通过解方程求出$m$的值。需要注意分式方程求解后要检验，确保分母不为零。
【解析】
1. 求解方程$\dfrac{x + 4}{x}=3$：
方程两边同乘$x$（$x≠0$），得：
$x + 4 = 3x$
移项、合并同类项：
$3x - x = 4$
$2x = 4$
解得：$x = 2$
检验：当$x=2$时，$x≠0$，所以$x=2$是原方程的解。
2. 根据题意，两个方程的解互为相反数，因此第二个方程$\dfrac{mx}{m + 1}-\dfrac{2}{x - 1}=1$的解为$x=-2$。
3. 将$x=-2$代入第二个方程：
$\dfrac{m×(-2)}{m + 1}-\dfrac{2}{-2 - 1}=1$
化简得：
$\dfrac{-2m}{m + 1}+\dfrac{2}{3}=1$
移项得：
$\dfrac{-2m}{m + 1}=1-\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{-2m}{m + 1}=\dfrac{1}{3}$
方程两边同乘$3(m+1)$（$m+1≠0$，即$m≠-1$），得：
$-6m = m + 1$
移项、合并同类项：
$-6m - m = 1$
$-7m = 1$
解得：$m=-\dfrac{1}{7}$
检验：当$m=-\dfrac{1}{7}$时，$m+1=\dfrac{6}{7}≠0$，且第二个方程的解$x=-2$代入分母$x-1=-3≠0$，符合题意。
【答案】
$m = -\dfrac{1}{7}$
【知识点】
分式方程的解法，相反数的概念，方程解的应用
【点评】
本题综合考查分式方程的求解与方程解的应用，解题核心是利用相反数的关系建立两个方程解的联系，代入求解时需注意分式分母不为零的限制条件，检验解的合理性，避免出现增根问题。
【难度系数】
0.6

【分析】
1. 第(1)问：观察给出的两个方程及其解，发现方程$x+\dfrac{1}{x}=k+\dfrac{1}{k}$的解为$x_1=k$，$x_2=\dfrac{1}{k}$，直接类比猜想即可得到方程$x+\dfrac{1}{x}=c+\dfrac{1}{c}$的解。
2. 第(2)问：要将方程$x+\dfrac{1}{x - 1}=a+\dfrac{1}{a - 1}$转化为$x+\dfrac{1}{x}=c+\dfrac{1}{c}$的形式，可把左边的$x$拆成$(x-1)+1$，右边的$a$拆成$(a-1)+1$，整理后即可匹配目标形式；再利用第(1)问的规律求出$x$的解，最后将解代入原方程验证左右两边是否相等。
【解析】
(1) 观察方程$x+\dfrac{1}{x}=2+\dfrac{1}{2}$的解$x_1=2$，$x_2=\dfrac{1}{2}$；方程$x+\dfrac{1}{x}=3+\dfrac{1}{3}$的解$x_1=3$，$x_2=\dfrac{1}{3}$，可猜想方程$x+\dfrac{1}{x}=c+\dfrac{1}{c}$的解是$x_1=c$，$x_2=\dfrac{1}{c}$。
(2) 对原方程$x+\dfrac{1}{x - 1}=a+\dfrac{1}{a - 1}$变形：
将左边的$x$写成$(x-1)+1$，右边的$a$写成$(a-1)+1$，方程变为：
$(x-1)+1+\dfrac{1}{x-1}=(a-1)+1+\dfrac{1}{a-1}$
整理得：$x - 1 + \dfrac{1}{x - 1} = a - 1 + \dfrac{1}{a - 1}$
根据第(1)问的规律，可得：
$x-1=a-1$或$x-1=\dfrac{1}{a-1}$
解得$x_1=a$，$x_2=\dfrac{1}{a-1}+1=\dfrac{1+(a-1)}{a-1}=\dfrac{a}{a-1}$
验证：
把$x_1=a$代入原方程左边：$a+\dfrac{1}{a-1}$，右边为$a+\dfrac{1}{a-1}$，左边=右边，故$x_1=a$是原方程的解；
把$x_2=\dfrac{a}{a-1}$代入原方程左边：$\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{1}{\dfrac{a}{a-1}-1}=\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{a-1}}=\dfrac{a}{a-1}+a-1=\dfrac{a+(a-1)^2}{a-1}=\dfrac{a^2-a+1}{a-1}$
右边：$a+\dfrac{1}{a-1}=\dfrac{a(a-1)+1}{a-1}=\dfrac{a^2-a+1}{a-1}$，左边=右边，故$x_2=\dfrac{a}{a-1}$是原方程的解。
【答案】
(1) $x_1=c$，$x_2=\dfrac{1}{c}$
(2) $x - 1 + \dfrac{1}{x - 1} = a - 1 + \dfrac{1}{a - 1}$；$x_1=a$，$x_2=\dfrac{a}{a-1}$
【知识点】
规律探究、分式方程求解、换元思想
【点评】
本题通过观察特例归纳分式方程解的规律，再利用换元思想将复杂方程转化为熟悉形式，考查了归纳推理能力与方程转化能力，解题关键是准确发现规律并合理变形方程。
【难度系数】
0.7