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增根
无解
C
$(x+1)(x-1)$
$3(x-1)+2(x+1)=-6$
增根
2
3
A
A
【分析】
首先回忆分式方程增根的相关概念：解分式方程时，需通过去分母将其转化为整式方程，若转化后的一元一次方程的根代入原分式方程后，会使原分式方程的分母为0，那么这个根不符合原分式方程的要求；再结合该根对原分式方程的影响，即可完成填空。
【解析】
根据分式方程增根的定义：在解分式方程时，去分母变形后的一元一次方程的根，若使得原分式方程的分母为0，则这样的根叫作原分式方程的增根；由于该根会让原分式方程的分母为0，方程无意义，所以此时原分式方程无解。
【答案】
增根，无解
【知识点】
分式方程的增根
【点评】
本题考查分式方程增根的基础概念，需明确增根是去分母后整式方程的根，但不是原分式方程的根，它会导致原分式方程分母为0，进而使原分式方程无解，掌握这一概念是学习分式方程相关知识的基础。
【难度系数】
0.9
【分析】
要判断哪一步可能产生增根，需明确增根的定义：增根是分式方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根，其产生的根本原因是去分母时两边同乘了可能为0的整式，扩大了未知数的取值范围。我们逐步骤分析：
1. 从①到②：是对左边的分式进行通分计算，$\frac{x}{x-1}-1$通分后分子为$x-(x-1)$，计算得$x-x+1$，这一步仅为整式的化简运算，未改变分母，不会扩大未知数取值范围，不会产生增根；
2. 从②到③：是将左边分子化简为1，得到$\frac{1}{x-1}$，属于单纯的分子化简，未涉及去分母，不会产生增根；
3. 从③到④：这一步是给方程两边同时乘以$(x-1)(x+2)$去分母，而$(x-1)(x+2)$在$x=1$或$x=-2$时为0，此时去分母会将分式方程转化为整式方程，扩大了未知数的取值范围（原方程中$x≠1$且$x≠-2$，整式方程无此限制），因此这一步可能产生增根；
4. 从④到⑤：是解整式方程$x+2=3$，通过移项得到$x=1$，这一步是普通的整式运算，不会产生增根，只是解出的$x=1$是原方程的增根，但产生增根的步骤是去分母那一步。
【解析】
分式方程增根产生于去分母的步骤，因为去分母时若两边同乘了使原分式方程分母为0的整式，会扩大未知数的取值范围，从而可能产生增根。
①到②：左边通分计算，无去分母操作，不会产生增根；
②到③：左边分子化简，无去分母操作，不会产生增根；
③到④：方程两边同乘$(x-1)(x+2)$去分母，该整式在$x=1$或$x=-2$时为0，此步骤扩大了未知数取值范围，可能产生增根；
④到⑤：解整式方程，无增根产生的可能。
因此，可能产生增根的步骤是从③到④这一步，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的增根；分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程增根的产生原因，关键要理解增根是在去分母将分式方程化为整式方程的过程中产生的，解分式方程时必须检验根的合理性，避免增根。
【难度系数】
0.7
【分析】
解分式方程的核心是通过乘最简公分母将分式方程转化为整式方程。首先观察各分母：x+1、x-1、$1-x^2$，其中$1-x^2$可变形为-(x-1)(x+1)，因此三个分母的最简公分母为(x-1)(x+1)。方程两边同乘该最简公分母时，注意右边分母$1-x^2$与最简公分母的关系，需变号得到整式方程。求解整式方程后，要检验所得根是否使原方程分母为0，若分母为0则为增根。
【解析】
1. 确定最简公分母：
因为$1-x^2=-(x^2-1)=-(x-1)(x+1)$，所以分式方程各分母x+1、x-1、$1-x^2$的最简公分母为(x-1)(x+1)。
2. 去分母化为整式方程：
方程两边同乘(x-1)(x+1)，得：
3(x-1) + 2(x+1) = 6×(-1) 即3(x - 1) + 2(x + 1) = -6。3. 检验根的合理性： 解整式方程得x=-1，将x=-1代入最简公分母(x-1)(x+1)，得(-1-1)×(-1+1)=0，分母为0，原分式方程无意义，因此x=-1是原方程的增根。【答案】(x - 1)(x + 1)，3(x - 1) + 2(x + 1) = -6，增根
【知识点】
分式方程解法，最简公分母确定，增根的判断
【点评】
本题考查分式方程求解的基础步骤，涵盖最简公分母的确定、去分母转化整式方程及增根的判断。解分式方程时必须进行检验，避免忽略增根的情况，是分式方程学习中的基础考点。
【难度系数】
0.8
【分析】
本题已知分式方程的解，求参数$m$的值。解题思路是利用方程的解的定义：方程的解能使方程左右两边相等，因此将$x=1$代入原分式方程，可得到一个关于$m$的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出$m$的值。
【解析】
将$x=1$代入方程$\frac{mx + 1}{x + 3}=\frac{3}{4}$中，可得：
$\frac{m×1 + 1}{1 + 3}=\frac{3}{4}$
化简得：
$\frac{m + 1}{4}=\frac{3}{4}$
两边同时乘以4，得：
$m + 1 = 3$
移项解得：
$m = 2$
【答案】
2
【知识点】
分式方程的解、解一元一次方程
【点评】
本题主要考查分式方程解的定义的应用，属于基础题型。解题关键是明确方程的解满足原方程，通过代入转化为关于参数的方程求解，难度较低，容易掌握。
【难度系数】
0.9
【分析】
首先要明确分式方程增根的定义：增根是分式方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为零的根。解题思路如下：
1. 先找出原分式方程的分母，本题中分母为$x - 3$；
2. 令分母等于0，求出可能的增根，因为增根必然使原方程分母无意义；
3. 验证该值是否为去分母后整式方程的根，确认它是增根。
【解析】
1. 确定原方程的分母：原方程$\frac{x}{x - 3}=2+\frac{3}{x - 3}$的分母为$x - 3$；
2. 令分母为0，即$x - 3 = 0$，解得$x = 3$；
3. 去分母验证：方程两边同乘$x - 3$，得到整式方程$x = 2(x - 3) + 3$，解这个方程：
$ x = 2x - 6 + 3 \\ x - 2x = -3 \\ -x = -3 \\ x = 3 $
4. 将$x = 3$代入原方程分母$x - 3 = 0$，分母无意义，所以$x = 3$是原方程的增根。
【答案】
$x = 3$
【知识点】
分式方程的增根
【点评】
本题考查分式方程增根的概念，解题关键是理解增根的本质：增根是使原分式方程分母为零的数，且是去分母后整式方程的根。解分式方程时一定要注意检验，排除增根。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这个问题，需紧扣分式方程增根的定义：增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为0的根。解题思路如下：
1. 先确定原分式方程的分母，找出可能的增根；
2. 将原分式方程化为整式方程；
3. 把增根代入整式方程，即可求出k的值。
【解析】
1. 整理原方程：
原方程$\frac{x - 8}{x - 7}-\frac{k}{7 - x}=8$中，$7-x=-(x-7)$，因此方程可变形为：
$\frac{x - 8}{x - 7}+\frac{k}{x - 7}=8$
2. 去分母化为整式方程：
方程两边同时乘以最简公分母$(x-7)$，得：
$x - 8 + k = 8(x - 7)$
3. 确定增根：
因为分式方程有增根，所以原方程的分母为0，即$x-7=0$，解得$x=7$，这就是该方程的增根。
4. 代入增根求k：
将$x=7$代入整式方程$x - 8 + k = 8(x - 7)$，得：
$7 - 8 + k = 8×(7 - 7)$
计算得：$-1 + k = 0$，解得$k=1$。
因此，k的值为1，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根
【点评】
本题考查分式方程增根的概念及应用，解题核心是明确增根的性质：增根使原分式方程分母为0，但满足去分母后的整式方程。解题时需注意符号的处理，避免因变形时符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.6
【分析】
要判断甲、乙、丙三位同学的结论是否正确，需先将分式方程化为整式方程，再分别针对每个结论进行验证：
1. 验证甲的结论：将$k=0$代入整式方程求解，再检验解是否使原分式方程分母不为0；
2. 验证乙的结论：分式方程的增根是使分母为0的$x$值，先确定增根$x=2$，再代入整式方程求出$k$的值；
3. 验证丙的结论：方程的解是非负数时，先根据整式方程的解≥0求出$k$的初步范围，再排除解为增根时$k$的取值，避免分母为0的情况。
【解析】
首先将原分式方程化为整式方程：
原方程为$\frac{k}{2x - 4}-1=\frac{x}{x - 2}$，分母$2x-4=2(x-2)$，最简公分母为$2(x-2)$，方程两边同乘$2(x-2)$得：
$k - 2(x-2) = 2x$
整理得：$k - 2x + 4 = 2x$
移项合并同类项：$4x = k + 4$
解得：$x = \frac{k+4}{4}$
1. 验证甲的结论：
当$k=0$时，$x = \frac{0+4}{4}=1$，
检验：将$x=1$代入原方程分母，$2x-4=2×1-4=-2≠0$，$x-2=1-2=-1≠0$，
所以$x=1$是原方程的解，甲的结论正确。
2. 验证乙的结论：
分式方程的增根是使分母为0的$x$值，即$2x-4=0$或$x-2=0$，解得$x=2$，
将$x=2$代入整式方程$4x = k + 4$，得$4×2 = k + 4$，解得$k=4$，
所以若方程有增根，则$k=4$，乙的结论正确。
3. 验证丙的结论：
方程的解是非负数，即$x = \frac{k+4}{4}≥0$，解得$k≥-4$，
又因为原分式方程分母不能为0，即$x≠2$，
当$x=2$时，$\frac{k+4}{4}=2$，解得$k=4$，
所以$k$的取值范围是$k≥-4$且$k≠4$，而丙的结论中未排除$k=4$的情况，因此丙的结论错误。
综上，甲乙的结论正确，丙的结论错误，故选A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解；分式方程的增根；分式方程参数取值
【点评】
本题考查分式方程的核心知识点，包括解的验证、增根的定义及参数取值范围的确定。解题关键在于牢记分式方程分母不能为0，在求参数范围时必须排除增根对应的参数值，这是极易出错的地方，需要格外注意。
【难度系数】
0.6
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