第75页 - 学习与评价七年级数学苏科版江苏凤凰教育出版社

4

-5

①

②

③

 解：将$y = 2x - 7$代入$5x + 3y + 2z = 2，$得$11x + 2z = 23$④，联立$3x - 4z = 4$⑤，④×2 + ⑤得$25x = 50，$$x = 2，$则$y = 2×2 - 7 = -3，$代入⑤得$z = \frac{1}{2}。$所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = -3 \\ z = \frac{1}{2}\end{cases}。$

 解：②×2 + ①得$8x + 13z = 31$④，②×3 - ③得$x + 2z = 5，$即$x = 5 - 2z$⑤，将⑤代入④得$z = 3，$则$x = -1，$代入②得$y = \frac{1}{2}。$所以方程组的解为$\begin{cases}x = -1 \\ y = \frac{1}{2} \\ z = 3\end{cases}。$

解：$(1)$由题意得，${{\begin {cases} { {a-b+c=4}} \\{4a+2b+c=4} \\{a+b+c=2} \end {cases}}}$

解得，${{\begin {cases} { {a=1}} \\{b=-1} \\{c=2} \end {cases}}}$

$(2)$将$x=-2$代入$y=x^2-x+2，$得

$y={(-2)}^2-(-2)+2=8$

解：由题可知$3x+y=-8$

∴$y=-8-3x$

代入二元一次方程组得

${{\begin {cases} {{x-3(-8-3x)=k+2}} \\{2x-(-8-3x)=k-9} \end {cases}}}$

∴$\frac {k-22}{10}=\frac {k-17}5$

解得$k=12$

解：甲、乙、丙三种货物的单价分别为$x$元、$y$元、$z$元

根据题意，得

${{\begin {cases} { {2x+4y+z=90①}} \\{4x+10y+z=110②} \end {cases}}}$

由①，得$x+3y+x+y+z=90，$③

由②，得$3(x+3y)+x+y+z=110，$④

设$x+3y=m，$$x+y+z=n$

由③、④可得

${{\begin {cases} { {m+n=90}} \\{3\ \mathrm {m}+n=110} \end {cases}}}$

解得，${{\begin {cases} { {m=10}} \\{n=80} \end {cases}}}$

因此甲、乙、丙货物各购$1$件，则共需$80$元

(1) 将$x = -1$，$y = - 2$代入方程$5x - 2y + z = 3$中，得$5×(-1)-2×(-2)+z = 3$，即$-5 + 4+z = 3$，解得$z = 4$。
(2) 因为$x + y = 0$，即$x=-y$，把$x = - y$代入$2x - y = 15$，可得$2×(-y)-y = 15$，$-2y - y = 15$，$-3y = 15$，解得$y=-5$，则$x = 5$。把$x = 5$，$y = - 5$代入$2y - x = 4m + 5$，得$2×(-5)-5 = 4m + 5$，$-10 - 5 = 4m+5$，$-15 = 4m + 5$，$4m=-20$，解得$m = - 5$。

【分析】
（1）该方程组中第一个方程直接给出了y与x的关系式，适合用代入消元法。首先将$y=2x-7$代入第二个方程，消去y，得到一个关于x和z的二元一次方程，再与第三个方程组成新的二元一次方程组，通过加减消元法求出x和z的值，最后将x的值代入第一个方程求出y的值。
（2）此方程组没有直接给出单个变量的表达式，采用加减消元法消去y较为简便。先将第二个方程分别乘以2和3，与第一个方程相加、第三个方程相减，消去y后得到两个关于x和z的二元一次方程，组成新方程组求解x和z，再代入原方程求出y的值。
【解析】
（1）$\begin{cases}y = 2x - 7,①\\5x + 3y + 2z = 2,②\\3x - 4z = 4;③\end{cases}$
将①代入②得：$5x + 3(2x - 7) + 2z = 2$，
化简得：$11x + 2z = 23$，④
③与④组成方程组：$\begin{cases}3x - 4z = 4,③\\11x + 2z = 23,④\end{cases}$
④×2得：$22x + 4z = 46$，⑤
③+⑤得：$25x = 50$，解得$x = 2$，
将$x = 2$代入③得：$3×2 - 4z = 4$，解得$z = \frac{1}{2}$，
将$x = 2$代入①得：$y = 2×2 - 7 = -3$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2\\y = -3\\z = \frac{1}{2}\end{cases}$
（2）$\begin{cases}2x + 4y + 3z = 9,①\\3x - 2y + 5z = 11,②\\5x - 6y + 7z = 13;③\end{cases}$
②×2得：$6x - 4y + 10z = 22$，④
①+④得：$8x + 13z = 31$，⑤
②×3得：$9x - 6y + 15z = 33$，⑥
⑥ - ③得：$4x + 8z = 20$，化简得$x + 2z = 5$，⑦
⑤与⑦组成方程组：$\begin{cases}8x + 13z = 31,⑤\\x + 2z = 5,⑦\end{cases}$
由⑦得$x = 5 - 2z$，代入⑤得：$8(5 - 2z) + 13z = 31$，
解得$z = 3$，
将$z = 3$代入⑦得：$x = 5 - 2×3 = -1$，
将$x = -1$，$z = 3$代入②得：$3×(-1) - 2y + 5×3 = 11$，
解得$y = \frac{1}{2}$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = -1\\y = \frac{1}{2}\\z = 3\end{cases}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{\begin{cases}x = 2\\y = -3\\z = \frac{1}{2}\end{cases}}$；（2）$\boldsymbol{\begin{cases}x = -1\\y = \frac{1}{2}\\z = 3\end{cases}}$
【知识点】
三元一次方程组的解法，代入消元法，加减消元法
【点评】
本题主要考查三元一次方程组的求解，核心是通过代入或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程求解，体现了“消元”的数学思想，熟练掌握消元技巧是解题关键。
【难度系数】
0.6

(1) 将 $ x=-1,y=4 $; $ x=2,y=4 $; $ x=1,y=2 $ 分别代入 $ y=ax^2+bx+c $，得：
$\begin{cases}a - b + c = 4 \\4a + 2b + c = 4 \\a + b + c = 2\end{cases}$
由第一个方程减第三个方程：$(a - b + c)-(a + b + c)=4 - 2$，得$-2b=2$，解得$b=-1$。
将$b=-1$代入第三个方程：$a - 1 + c = 2$，即$a + c = 3$。
将$b=-1$代入第二个方程：$4a - 2 + c = 4$，即$4a + c = 6$。
由$4a + c = 6$减$a + c = 3$：$3a=3$，解得$a=1$。
将$a=1$代入$a + c = 3$：$1 + c = 3$，解得$c=2$。
故$a=1$，$b=-1$，$c=2$。
(2) 由(1)得$y=x^2 - x + 2$，当$x=-2$时，$y=(-2)^2 - (-2) + 2=4 + 2 + 2=8$。

【分析】
题目告知二元一次方程组的解适合方程$3x + y = -8$，说明这三个方程是同解方程组。我们可以先通过原方程组的两个方程消去参数$k$，得到一个关于$x$、$y$的二元一次方程；再将这个方程与$3x + y = -8$联立，用加减消元法解出$x$、$y$的值；最后把$x$、$y$代入原方程组中的任意一个方程，即可求出$k$的值。
【解析】
已知三个同解的方程：
$\begin{cases}x - 3y = k + 2 \quad (1)\\2x - y = k - 9 \quad (2)\\3x + y = -8 \quad (3)\end{cases}$
1. 消去参数$k$：用方程(2)减去方程(1)，得：
$(2x - y) - (x - 3y) = (k - 9) - (k + 2)$
化简得：$x + 2y = -11 \quad (4)$
2. 联立方程(3)和(4)，解关于$x$、$y$的方程组：
$\begin{cases}3x + y = -8 \quad (3)\\x + 2y = -11 \quad (4)\end{cases}$
将方程(3)两边同时乘以2，得：$6x + 2y = -16 \quad (5)$
用方程(5)减去方程(4)，得：
$(6x + 2y) - (x + 2y) = -16 - (-11)$
化简得：$5x = -5$，解得$x = -1$
3. 求$y$的值：将$x = -1$代入方程(4)，得：
$-1 + 2y = -11$
解得$2y = -10$，即$y = -5$
4. 求$k$的值：将$x = -1$，$y = -5$代入方程(1)，得：
$-1 - 3×(-5) = k + 2$
计算左边：$-1 + 15 = 14$，则$14 = k + 2$，解得$k = 12$
【答案】
$\boxed{12}$
【知识点】
二元一次方程组解法、同解方程组应用
【点评】
本题考查同解方程组的理解与运用，核心是通过加减消元法先消去参数$k$，求出方程组的解$x$、$y$，再代入求$k$值。解题时需熟练掌握加减消元法的步骤，注意计算的准确性。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这个问题，我们的目标是求出甲、乙、丙各1件的总价，即$x+y+z$的值。题目给出了两个购买组合的总价，我们可以先设三种货物的单价分别为$x$元、$y$元、$z$元，根据题意列出三元一次方程组。由于方程组只有两个方程，无法直接求出每个未知数的具体值，因此我们需要利用整体思想，通过方程之间的运算消去其中一个未知数，得到另外两个未知数的关系，再将其代入方程，用一个未知数表示另外两个，最后代入$x+y+z$中，消去未知数得到结果。具体步骤为：先列出方程组，再通过两个方程相减消去$z$，化简得到$x$与$y$的关系，接着用$y$表示$z$，最后将$x$、$z$代入$x+y+z$计算出结果。
【解析】
设甲、乙、丙三种货物每件的价格分别为$x$元、$y$元、$z$元。
根据题意，可列出方程组：
$\begin{cases}2x + 4y + z = 90 & ① \\4x + 10y + z = 110 & ②\end{cases}$
② - ①，得：
$2x + 6y = 20$
化简为：$x + 3y = 10$，即$x = 10 - 3y$ ③
将③代入①，得：
$2(10 - 3y) + 4y + z = 90$
展开并化简：$20 - 6y + 4y + z = 90$，即$z = 70 + 2y$ ④
将③和④代入$x + y + z$，得：
$x + y + z = (10 - 3y) + y + (70 + 2y) = 10 - 3y + y + 70 + 2y = 80$
【答案】
80元
【知识点】
三元一次方程组的应用，整体思想
【点评】
本题考查三元一次方程组的实际应用，核心是运用整体思想求解。不需要单独求出每个未知数的具体值，而是通过消元得到未知数之间的关系，进而求出三种货物各1件的总价，着重培养学生的整体思维和灵活运用方程组解决问题的能力。
【难度系数】
0.6