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解：∵四边形​$ABCD$​是矩形，
∴​$AC=BD，$​​$OA=OC=\frac {1}{2}AC，$​​$OB=OD=\frac {1}{2}BD，$​
∴​$OA=OB。$​设​$∠AOB=x，$​则​$∠BOC=2x，$​
∵​$∠AOB+∠BOC=180°，$​
∴​$x+2x=180°，$​解得​$x=60°，$​
∴​$△AOB$​是等边三角形，
∴​$AB=OA。$​
∵​$AC=1.8，$​
∴​$OA=\frac {1}{2}AC=0.9，$​
∴​$AB=0.9。$​
证明：∵四边形​$ABCD$​是矩形，
∴​$AD=BC，$​​$∠A=∠B=90°。$​
∵​$AF=BE，$​
∴​$AF+FE=BE+FE，$​即​$AE=BF。$​
在​$△ADE$​和​$△BCF_{中}，$​
​$\begin {cases}{AD=BC}\\{∠A=∠B}\\{AE=BF}\end {cases}$​
∴​$△ADE≌△BCF(\mathrm {SAS})，$​
∴​$DE=CF。$​
证明：∵ 四边形 ​$ABCD$​ 是矩形
∴ ​$AB = CD$​，​$∠ B=∠ C = 90°$​
∵ ​$M$​ 是 ​$BC$​ 的中点
∴ ​$BM = CM$​
∴ ​$△ ABM≌△ DCM$​
∴ ​$∠ AMB=∠ DMC$​
∵ ​$MA⊥ MD$​
∴ ​$∠ AMB = 45°$​
∵ ​$AB = BM$​
∴ ​$AD = 2AB$​。
解：(1)​$△ AEF$​是等边三角形.

证明：​$∵△ ABE$​与​$△ AB'E$​完全重合，
​$∴△ ABE≌ △ AB'E$​，
​$∠BAE=∠1$​，
由平行线等分线段定理
​$EB'=B'F$​，
又​$∵∠AB'E=90°$​
​$∴△ AB'E≌ △ AB'F$​，
​$∴AE=AF，∠1=∠2=\frac {1}{3}∠BAD=30°$​
​$∴△ AEF$​是等边三角形.
​$(2)$​不一定，
设矩形的长为​$a，$​宽为​$b，$​可知​$b≤ \frac {\sqrt {3}}{2}a$​时，一定能折出等边三角形，
当​$\frac {\sqrt {3}}{2}a＜ b＜ a$​时，不能折出.
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