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​$ C$​
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证明：∵​$AD=AC，$​​$AE⊥CD，$​
∴​$E$​是​$CD$​的中点
∵​$F $​是​$BC$​的中点，
∴​$EF $​是​$△BCD$​的中位线​$($​三角形中位线定义​$)，$​
∴​$EF=\frac {1}{2}BD($​三角形中位线定理​$)，$​
∴​$BD=2EF。$​
证明：∵​$BD、$​​$CE$​是​$△ABC$​的中线，
∴​$D$​是​$AC$​中点，​$E$​是​$AB$​中点，
∴​$DE$​是​$△ABC$​的中位线，
∴​$DE∥BC，$​​$DE=\frac {1}{2}BC($​三角形中位线定理​$)。$​
∵​$F $​是​$OB$​中点，​$G $​是​$OC$​中点，
∴​$FG $​是​$△OBC$​的中位线，
∴​$FG∥BC，$​​$FG=\frac {1}{2}BC($​三角形中位线定理​$)。$​
∴​$DE∥FG，$​​$DE=FG，$​
∴四边形​$DEFG $​是平行四边形
证明：​$(1)$​∵​$E$​是​$AD$​中点，​$G $​是​$BD$​中点，
∴​$EG $​是​$△ABD$​的中位线，
∴​$EG=\frac {1}{2}AB，$​​$EG∥AB($​三角形中位线定理​$)。$​
∵​$F $​是​$BC$​中点，​$H$​是​$AC$​中点，
∴​$HF $​是​$△ABC$​的中位线，
∴​$HF=\frac {1}{2}AB，$​​$HF∥AB($​三角形中位线定理​$)。$​
∴​$EG=HF，$​​$EG∥HF，$​
∴四边形​$EGFH$​是平行四边形
∵​$G $​是​$BD$​中点，​$F $​是​$BC$​中点，
∴​$GF $​是​$△BCD$​的中位线，
∴​$GF=\frac {1}{2}CD($​三角形中位线定理​$)。$​
∵​$AB=DC，$​
∴​$GF=\frac {1}{2}AB=EG，$​
∴平行四边形​$EGFH$​是菱形。
​$ (2)$​∵​$EG∥AB，$​​$GF∥CD，$​
∴​$∠GEB=∠ABC，$​​$∠GFB=∠DCB$​
∵​$∠ABC+∠DCB=90°，$​
∴​$∠GEB+∠GFB=90°。$​
在​$△EFG_{中}，$​​$∠EGF=180°-(∠GEB+∠GFB)=90°。$​
∵四边形​$EGFH$​是菱形，且​$∠EGF=90°，$​
∴菱形​$EGFH$​是正方形。
∵​$AB=1，$​​$EG=\frac {1}{2}AB=\frac {1}{2}，$​
∴正方形​$EGFH$​的面积​$=(\frac {1}{2})^2=\frac {1}{4}。$​
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