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解:过点​$D$​作​$DE// AB$​交​$BC$​于​$E$​。
​$∵AD// BC$​，​$DE// AB$​
​$∴$​四边形​$ABED$​是平行四边形
​$∴BE = AD = 4$​，​$∠ DEC=∠ B = 50°$​
​$∵∠ C = 80°$​
​$∴∠ EDC = 180°-50°-80°=50°$​
​$∴EC = DC = 6$​
​$∵BC = BE + EC = 4 + 6 = 10$​
答:​$BC$​长为​$10$​。
证明：∵​$DE∥BC，$​
∴四边形​$DBCE$​是梯形。
∵​$AB=AC，$​
∴​$∠B=∠C。$​
∵​$DE∥BC，$​
∴​$∠ADE=∠B，$​​$∠AED=∠C，$​
∴​$∠ADE=∠AED，$​
∴​$AD=AE，$​
∴​$AB-AD=AC-AE，$​即​$DB=EC，$​
∴梯形​$DBCE$​是等腰梯形。
证明​$(1)$​因为​$DE$​是​$AB$​的垂直平分线，
所以​$AD = BD，$​​$∠ DBA=∠ DAB。$​
因为​$∠ DBA=∠ ABC，$​
所以​$∠ ABC=∠ DAB，$​得​$AD// BC。$​
因为​$AC$​与​$BD$​不平行，
所以四边形​$ADBC$​是梯形。
​$(2)$​延长​$DE$​交​$BC$​于点​$F，$​如图所示，
因为​$∠ DBA=∠ ABC，$​​$∠ DEB=∠ BEF = 90°，$​​$BE = BE，$​
所以​$△ BDE≌△ BFE，$​可得​$BF = BD = AD。$​
因为​$∠ BAC=∠ BEF = 90°，$​
所以​$DF// AC，$​
所以四边形​$ACFD$​是平行四边形。
可得​$AD = FC，$​​$FC = BF = AD，$​
所以​$AD=\frac {1}{2}BC。$​
解​$：(1) $​四边形​$ADEF $​是正方形。
证明：∵​$ $​四边形​$ABCD$​是直角梯形，​$AB// DC，$​​$∠ A = 90°$​
∴​$ AD⊥ AB$​
∵ 折叠，点​$A$​落在​$E$​处
∴​$ AD = DE，$​​$AF = EF，$​​$∠ A=∠ DEF = 90°$​
∵​$ AB// DC$​
∴​$ $​四边形​$ADEF $​是矩形
∵​$ AD = DE$​
∴​$ $​四边形​$ADEF $​是正方形。
​$(2) $​证明：∵​$ $​四边形​$ADEF $​是正方形
∴​$ AF// DE，$​​$AF = DE$​
∵​$ G $​是​$AF_{中点}$​
∴​$ AG = GF$​
∵​$ DG// CB$​
∴​$ $​四边形​$DGCB$​是平行四边形
∴​$ DG = BC$​
∵​$ EG = DG$​
∴​$ EG = BC$​
∵​$AB//CD$​
∴​$ $​四边形​$GBCE$​是等腰梯形。

性质：等腰梯形同一底上的两个角相等。
已知：等腰梯形​$ABCD$​中，​$AD∥BC，$​​$AB=CD。$​求证：​$∠B=∠C。$​
证明：过​$A$​作​$AE∥CD$​交​$BC$​于​$E，$​
∵​$AD∥BC，$​​$AE∥CD，$​
∴四边形​$AECD$​是平行四边形，
∴​$AE=CD=AB，$​
∴​$∠B=∠AEB。$​
∵​$AE∥CD，$​
∴​$∠AEB=∠C，$​
∴​$∠B=∠C。$​
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