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第51页

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$\frac{3}{2}$

证明：∵四边形$ABCD$是矩形，

∴$AD=BC，$$AD∥BC，$

∴$∠DAF=∠BCE。$

∵$BE⊥AC，$$DF⊥AC，$

∴$∠AFD=∠CEB=90°。$

在$△ADF $和$△CBE$中，

$\begin {cases}∠DAF=∠BCE\\∠AFD=∠CEB\\AD=CB\end {cases}，$

∴$△ADF≌△CBE(\mathrm {AAS})，$

∴$AF=CE。$

解：∵四边形$ABCD $是矩形，

∴$∠A=∠ B = 90°，$$AD = BC，$$AB = CD，$

∵$EF⊥ CE，$

∴$∠ CEF = 90°，$

∴$∠AEF+∠ BEC=∠AEF+∠AFE = 90°，$

∴$∠ BEC=∠AFE，$

∵$EF = CE，$

∴$△AEF≌△ BCE(\mathrm {AAS})，$

∴$AE = BC，$

∴$AB = AE + BE = BC + 2，$

∵矩形$ABCD $的周长为$ 16，$

∴$AB + BC + CD + AD = 16，$

∴$AB + BC = 8，$

∴$BC + BC + 2 = 8，$

∴$BC = 3.$