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第52页

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证明：$(1) $∵$ $四边形$ ABCD $是矩形，

∴$ ∠A = ∠ADC = ∠B = ∠C = 90°，$$AB = CD。$

由折叠得$ PD = AB，$$∠P = ∠A = 90°，$$∠PDF = ∠B = 90°。$

∴$ PD = CD，$$∠P = ∠C = 90°，$$∠PDF = ∠ADC。$

∴$ ∠PDE = ∠CDF。$

在$ △ PDE $和$ △ CDF $中，

$\begin {cases}∠P = ∠C， \\PD = CD， \\∠PDE = ∠CDF，\end {cases}$

∴$ △ PDE ≌ △ CDF(\mathrm {ASA})$

$ (2) $过点$ E $作$ EG⊥BC $于点$ G。$

∴$ ∠EGF = 90°。$

∴$ DE = CG，$$EG = CD = 4。$

在$ Rt△ EGF $中，由勾股定理得$FG = \sqrt {5^2 - 4^2} = 3。$

设$ CF = x，$则$ PE = AE = BG = x。$

∵$ AD // BC，$

∴$ ∠DEF = ∠BFE。$

由折叠得$ ∠BFE = ∠DFE。$

∴$ ∠DEF = ∠DFE。$

∴$ DE = DF = CG = x + 3。$

在$ Rt△ CDF $中，由勾股定理得$DF^2 = CF^2 + CD^2，$

即$ (x + 3)^2 = x^2 + 4^2，$解得$ x = \frac {7}{6}。$

∴$ BC = 2x + 3 = \frac {7}{3} + 3 = \frac {16}{3}$

证明：$(1) $∵$ $四边形$ABCD $是矩形

∴$ BE = DE，$$∠ BAD = 90°。$

∴$ ∠ ABD + ∠ ADB = 90°。$

∵$ OB = OD，$$ BE = DE，$

∴$ OE ⊥ BD。$

∴$ ∠ OEB = 90°。$

∴$ ∠ BOE + ∠ OBE = 90°，$

即$ ∠ AOF + ∠ ABD = 90°。$

∴$ ∠ AOF = ∠ ADB。$

∵$ △ OAD $为等腰直角三角形，

∴$ AO = AD，$$∠ OAD = 90°。$

∴$ ∠ OAF = ∠ DAB。$

在$ △ OAF $和$ △ DAB $中，

$\begin {cases} ∠ AOF = ∠ ADB， \\AO = AD， \\∠ OAF = ∠ DAB， \end {cases}$

∴$ △ OAF ≌ △ DAB(\mathrm {ASA})。$

$(2) $由$ (1) $得，$△ OAF ≌ △ DAB，$

∴$ AF = AB。$

连接$ BF，$则$ BF = \sqrt {2}AF。$

∵$ BE = DE，$$ OE ⊥ BD，$

∴$ DF = BF。$

∴$ DF = \sqrt {2}AF。$

∴$ \frac {DF}{AF} = \sqrt {2}。$