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证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD// BC，且 AD = BC。
∵点 C 是 BE 的中点，
∴BC = CE，
∴AD = CE，
∵AD// CE，
∴四边形ACED 是平行四边形。
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB = DC，
∵AB = AE，
∴DC = AE，
∵四边形ACED 是平行四边形，
∴四边形ACED 是矩形。
证明：​$(1)$​∵​$ MN// BC，$​​$CE $​平分​$ ∠ACB，$​​$CF $​平分​$ ∠ACG，$​
∴​$ ∠BCE = ∠ACE = ∠OEC，$​​$∠OCF = ∠FCG = ∠OFC，$​
∴​$ OE = OC，$​​$OC = OF，$​
∴​$ OE = OF。$​
​$(2)$​当​$ O $​运动到​$ AC $​中点时，四边形​$ AECF $​是矩形。
理由如下：
∵​$ AO = CO，$​​$OE = OF，$​
∴​$ $​四边形​$ AECF $​是平行四边形，
∵​$ ∠ECA + ∠ACF = \frac {1}{2}∠BCG，$​
∴​$ ∠ECF = 90°，$​
∴​$ $​四边形​$ AECF $​是矩形。
D
C
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