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第54页

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∠ABC=90°

证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AB=CD，$$AB//CD$

∵$M$是$AD$的中点

∴$AM=DM$

在$△ABM$和$△DCM$中

$\begin {cases}{AM=DM }\\{AB=DC} \\{BM=CM} \end {cases}$

∴$△ABM≌△DCM(\mathrm {SSS})$

∴$∠A=∠D$

∵$AB//CD$

∴$∠A+∠D=180°$

∴$∠A=90°$

∴平行四边形$ABCD$是矩形

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC//AB，DC = AB.

∵FC = AE，

∴CD - FC = AB - AE，即DF = BE.

∴四边形DEBF 是平行四边形.

∵DE⊥AB，

∴∠DEB = 90°.

∴▱DEBF 是矩形.

证明：∵$∠BAD = ∠CAE，$

∴$∠BAD - ∠BAC = ∠CAE - ∠BAC$

∴$∠BAE = ∠CAD.$

在$△BAE $和$△CAD $中，

$\begin {cases}\ \mathrm {A}E = AD，\\∠BAE = ∠CAD，\\AB = AC，\end {cases} $

∴$△BAE ≌ △CAD(\mathrm {SAS})，$

∴$∠BEA = ∠CDA，$$BE = CD.$

∵$DE = CB，$

∴四边形$ BCDE $是平行四边形，

∴$BE // CD.$

∵$AE = AD，$

∴$∠AED = ∠ADE.$

∵$∠BEA = ∠CDA，$

∴$∠BED = ∠CDE.$

∵$BE // CD，$

∴$∠CDE + ∠BED = 180°，$

∴$∠BED = ∠CDE = 90°，$

∴四边形$ BCDE $是矩形$.$

证明：$(1)$∵$DE⊥BC，$

∴$∠DEC=∠FEC=90°．$

在$△DEC$和$△FEC$中，

$\begin {cases} DE = EF\\∠DEC = ∠FEC\\CE = CE\end {cases} $

∴$△DEC≌△FEC(\mathrm {SAS})，$

∴$CF=CD．$

∵$AB=CD，$

∴$CF=AB．$

同理$BF=AC．$

∴四边形$ABFC$是平行四边形$．$

∵$AB=6，$$BC=10，$$AC=8，$

∴$AB^2+AC^2=BC^2，$

∴$∠BAC=90°，$

∴平行四边形$ABFC$是矩形$．$

$(2)$过点$A$作$AH⊥BC$于点$H$

∵$∠AHB=∠DEC=90°．$

在$△ABH$和$△DCE$中，

$\begin {cases} ∠AHB = ∠DEC\\∠ABH = ∠DCE\\AB = CD\end {cases} $

∴$△ABH≌△DCE(\mathrm {AAS})，$

∴$AH=DE．$

∵$S_{△ABC}=\frac {1}{2}AB· AC=\frac {1}{2}BC· AH，$

∴$AH=\frac {AB· AC}{BC}=\frac {6×8}{10}=4.8，$

∴$DE=AH=4.8．$