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解：​$(1)$​连接​$BD$​交​$AC$​于点​$O$​
∵在菱形​$ABCD$​中，​$∠ ABC$​与​$∠ BAD$​的度数比为​$1：2，$​
∴​$∠ ABC = 60°，$​​$∠ BAD = 120°，$​​$AC⊥ BD。$​
∴​$∠ ABO = 30°。$​
∵菱形​$ABCD$​的周长是​$16，$​
∴​$AB = BC = DC = AD = 4。$​
∴​$AO = 2，$​则​$BO = 2\sqrt {3}。$​
故​$AC = 4，$​​$BD = 4\sqrt {3}。$​
​$(2)$​菱形​$ABCD$​的面积为​$\frac {1}{2}AC· BD=\frac {1}{2}×4×4\sqrt {3}=8\sqrt {3}。$​
证明：∵DE//AC，CE//BD
∴四边形CEDO是平行四边形
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BC=CD
∴∠DOC=90°
∴四边形CEDO是矩形
∴OE=CD
∵BC=CD
∴OE=BC
C
A
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