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第56页

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$\frac{24}{5}$

证明：∵$ $四边形$ ABCD $是菱形，

∴$ DA = DC，$

∴$ ∠DAC = ∠DCA。$

∵$ ∠ADF = ∠CDE，$

∴$ ∠ADF - ∠EDF = ∠CDE - ∠EDF，$

即$ ∠ADE = ∠CDF。$

在$ △ DAE $和$ △ DCF $中，

$\begin {cases}∠DAE = ∠DCF \\DA = DC \\∠ADE = ∠CDF\end {cases}$

∴$ △ DAE ≌ △ DCF(\mathrm {ASA})，$

∴$ AE = CF。$

证明：∵四边形$ABCD$是菱形，$∠ADC=120°，$

∴$AD//BC，$$CD=CB。$

∴$∠BCD=180°-∠ADC=60°。$

∴$△BCD$是等边三角形，

∴$∠BDC=60°。$

∴$∠FBC=∠BCD+∠BDC=120°，$$∠EDC=∠FBC。$

在$△EDC$和$△FBC$中，

$\begin {cases}CD=CB\\∠EDC=∠FBC\\DE=BF\end {cases} $

∴$△EDC≌△FBC(\mathrm {SAS})$

∴$∠DCE=∠BCF。$

∵$∠ECF=∠BCE+∠BCF=∠BCE+∠DCE=∠BCD=60°，$

∴$△EFC$是等边三角形。