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证明：​$(1) $​∵​$ $​四边形​$ ABCD $​是菱形，​$AC $​所在直线是它的
对称轴，
∴​$AB = AD，$​​$∠ MAG=∠ EAG。$​
∵​$AC⊥ ME，$​
∴​$∠ AGM=∠ AGE = 90°。$​
∵​$ $​在​$ △ AGM $​和​$ △ AGE $​中，
​$\begin {cases}∠ MAG=∠ EAG，\\AG = AG，\\∠ AGM=∠ AGE，\end {cases}$​
∴​$△ AGM≌△ AGE。$​
∴​$AM = AE。$​
∵​$E $​为​$ AB $​的中点，
∴​$AE=\frac {1}{2}AB。$​
又 ∵​$AB = AD，$​
∴​$AM=\frac {1}{2}AD。$​
∴​$AM = DM。$​
​$(2) $​∵​$ $​四边形​$ ABCD $​是菱形，
∴​$AB// DC。$​
∴​$∠ EAM=∠ FDM。$​
∵​$ $​在​$ △ AME $​和​$ △ DMF $​中，
​$\begin {cases}∠ EAM=∠ FDM，\\AM = DM，\\∠ AME=∠ DMF，\end {cases}$​
∴​$△ AME≌△ DMF。$​
∴​$AE = DF = 2。$​
∴​$AB = 4。$​
∴​$ $​菱形​$ ABCD $​的周长为​$ 4×4 = 16。$​
证明：​$(1)$​∵四边形​$ ABCD $​是菱形，
∴​$AD// BC $​且​$ AD = BC，$​
∵​$BE = CF，$​
∴​$BC = EF，$​
∴​$AD = EF，$​
∵​$AD// EF，$​
∴四边形​$ AEFD $​是平行四边形，
∵​$AE⊥ BC，$​
∴​$∠ AEF = 90°，$​
∴四边形​$ AEFD $​是矩形；
​$(2)$​∵四边形​$ ABCD $​是菱形，​$AD = 5，$​
∴​$AD = AB = BC = 5，$​
∵​$EC = 2，$​
∴​$BE = 5 - 2 = 3，$​
在​$ Rt△ ABE $​中，
​$AE = \sqrt {AB^2 - BE^2} = \sqrt {5^2 - 3^2} = 4，$​
在​$ Rt△ AEC $​中，
​$AC = \sqrt {AE^2 + EC^2} = \sqrt {4^2 + 2^2} = 2\sqrt {5}，$​
∵四边形​$ ABCD $​是菱形，
∴​$OA = OC，$​
∴​$OE = \frac {1}{2}AC = \sqrt {5}。$​
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