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证明：∵​$AD⊥BC，$​​$EF⊥BC($​已知​$)$​
∴​$∠ADC=∠EFC=90°($​垂直定义​$)$​
∴​$AD//EF($​同位角相等，两直线平行)
∴​$∠E=∠CAD($​两直线平行，同位角相等)
​$∠BAD=∠AGE($​两直线平行，内错角相等)
又∵​$∠E=∠AGE($​已知​$)$​
∴​$∠CAD=∠BAD($​等量代换​$)，$​即​$AD$​平分​$∠BAC$​

解：​$(1)$​如图所示
​$(2)OA//CD，$​证明如下：
∵​$OP $​平分​$∠AOB($​已知​$)$​
∴​$∠COD=∠AOP($​角平分线定义​$)$​
又∵​$∠OCD=∠BOP($​已知​$)$​
∴​$∠OCD=∠AOP($​等量代换​$)$​
∴​$OA//CD($​内错角相等，两直线平行)
证明：因为正整数$n$能被$2$整除，设$n = 2k$（$k$为正整数）。又因为$n$能被$3$整除，所以$2k$能被$3$整除。由于$2$与$3$互质，所以$k$能被$3$整除，设$k = 3m$（$m$为正整数）。
则$n=2k=2\times3m = 6m，$所以$n$能被$6$整除。
​$ (1)$​解：在​$\triangle ABC$​中，​$∠B = 74^\circ ，$​​$∠C = 26^\circ ，$​
所以​$∠BAC=180^\circ -∠B - ∠C=180^\circ - 74^\circ - 26^\circ =80^\circ 。$​
因为​$AE$​平分​$∠BAC，$​
所以​$∠BAE=\frac {1}{2}∠BAC = 40^\circ 。$​
因为​$AD\perp BC，$​
所以​$∠ADB = 90^\circ ，$​
在​$Rt\triangle ABD$​中，​$∠BAD=90^\circ - ∠B=90^\circ - 74^\circ =16^\circ ，$​
因此​$∠DAE=∠BAE - ∠BAD=40^\circ - 16^\circ =24^\circ 。$​
​$ (2)$​猜想：​$∠DAE=\frac {1}{2}(∠B - ∠C)。$​
证明：在​$\triangle ABC$​中，​$∠BAC=180^\circ - ∠B - ∠C，$​
因为​$AE$​平分​$∠BAC，$​
所以​$∠BAE=\frac {1}{2}(180^\circ - ∠B - ∠C)。$​
在​$Rt\triangle ABD$​中，​$∠BAD=90^\circ - ∠B，$​
所以​$∠DAE=∠BAE - ∠BAD$​
​$=\frac {1}{2}(180^\circ - ∠B - ∠C)-(90^\circ - ∠B)$​
​$=\frac {1}{2}(∠B - ∠C)。$​
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