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解：​$(1)$​四边形​$GECF $​是菱形​$.$​
理由如下：
在矩形​$ABCD$​中，​$AD// BC，$​
∴​$∠GFE=∠FEC，$​
由折叠的性质可得​$GE=CE，$​​$CF=GF，$​​$∠FEC=∠GEF，$​
∴​$∠GFE=∠GEF，$​
∴​$GE=GF，$​
∴​$GE=GF=CE=CF，$​
∴四边形​$GECF $​是菱形​$.$​
​$(2)$​过点​$F $​作​$FM⊥BC$​于​$M，$​则四边形​$FMCD$​是矩形，
∴​$FM=CD=4\ \mathrm {cm}，$​​$CM=DF$​
设​$GF $​的长为​$x，$​则​$DF $​的长为​$8 - x$​
在​$Rt△FDC$​中，​$CF^2=CD^2+DF^2，$​
即​$x^2=4^2+(8 - x)^2，$​解得​$x = 5，$​
∴​$CE=GF=5\ \mathrm {cm}$​
∴​$S_{菱形GECF}=CE· FM=20\ \mathrm {cm}^2$​

证明：​$ (1)$​过点​$D$​作​$DM⊥BC$​于点​$M，$​过点​$B$​作​$BN⊥CD$​于点​$N$​
由题意得​$CD//AB，$​​$AD//BC$​
∴四边形​$ABCD$​是平行四边形
∵这两个矩形纸片的宽相等
∴​$DM=BN$​
∵​$DM⊥BC，$​​$BN⊥CD$​
∴​$∠CMD=∠CNB=90°$​
在​$△CDM$​和​$△CBN$​中
​$\begin {cases}{∠CMD=∠CNB }\\{∠C=∠C} \\{DM=BN} \end {cases}$​
∴​$△CDM≌△CBN(\mathrm {AAS})$​
∴​$CD=CB$​
∵四边形​$ABCD$​是平行四边形
∴四边形​$ABCD$​是菱形
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