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解：∵四边形​$ABCD$​为正方形
∴​$AB=AD$​
∵​$DF=BE，$​​$∠B=∠ADF=90°$​
∴​$△ADF≌△ABE$​
∴​$∠DAF=∠EAB，$​​$AE=AF$​
∵​$∠EAB+∠DAE=90°$​
∴​$∠DAF+∠DAE=90°$​
∴​$EF=\sqrt {AF²+AE²}=\sqrt {2}$​
证明：如图，过​$D$​作​$DG⊥ AB$​于​$G，$​
∵​$DE⊥ BC，$​​$DF⊥ AC，$​
∴​$∠ DEC=∠ DFC=∠ C = 90°，$​
∴四边形​$CEDF $​是矩形，
又∵​$DA$​平分​$∠ CAB，$​​$DB$​平分​$∠ CBA，$​
∴​$DF = DG，$​​$DE = DG，$​
∴​$DF = DE，$​
∴矩形​$CEDF $​是正方形。

A
C
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