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证明：​$(1)$​∵​$ AF// BC，$​
∴​$ ∠AFE = ∠DBE。$​
∵​$ E $​是​$ AD $​的中点，
∴​$ AE = DE。$​
在​$ △AEF $​和​$ △DEB $​中，
​$\begin {cases}∠AFE = ∠DBE \\∠FEA = ∠BED \\AE = DE\end {cases}$​
∴​$ △AEF≌△DEB(\mathrm {AAS})。$​
​$(2)$​当​$ AB = AC $​时，四边形​$ ADCF $​是正方形。
理由如下：
由​$(1)$​知​$ △AEF≌△DEB，$​
∴​$ AF = DB。$​
∵​$ D $​是​$ BC $​的中点，
∴​$ DB = DC。$​
∴​$ AF = DC。$​
∵​$ AF// BC，$​
∴​$ $​四边形​$ ADCF $​是平行四边形。
∵​$ ∠BAC = 90°，$​​$D $​是​$ BC $​的中点，
∴​$ AD = DC=\frac {1}{2}BC。$​
∴​$ $​四边形​$ ADCF $​是菱形。
∵​$ AB = AC，$​​$D $​是​$ BC $​的中点，
∴​$ AD⊥BC。$​
∴​$ ∠ADC = 90°。$​
∴​$ $​四边形​$ ADCF $​是正方形。
证明：​$ (1)$​∵四边形​$A B C D $​为正方形，
∴​$∠A D C=90° .$​
∵​$G E \perp C D，$​
∴​$∠C E G= 90°，$​
∴​$∠A D C=∠C E G，$​
∴​$A D // E G，$​
∴​$∠DA G=∠E G H .$​
​$(2)AH \perp E F . $​
理由如下：​$ $​连接​$ C G，$​交​$ E F $​于点​$ O .$​
∵四边形​$A B C D $​为正方形，
∴​$∠B C D= 90°，$​​$A D=C D，$​​$∠A D G=∠C D G .$​
在​$ \triangle A D G $​和​$ \triangle C D G $​中，
​$\begin {cases}{A D=C D}\\{∠A D G=∠C D G}\\{D G=D G}\end {cases}$​
∴​$ \triangle A D G ≌ \triangle C D G (\mathrm {SAS})$​
∴​$∠DA G=∠D C G .$​
∵​$G F \perp B C，$​
∴​$∠C F G=90° .$​
又​$ ∠C E G=90°，$​
∴四边形​$ C E G F $​为矩形，
∴​$O C=O G= \frac {1}{2} C G，$​​$O E=O F=\frac {1}{2} E F，$​​$C G=E F，$​
∴​$O C= O E，$​
∴​$∠C E F=∠D C G，$​
∴​$∠DA G= ∠C E F .$​
又​$ ∠DA G=∠E G H，$​
∴​$∠E G H= ∠C E F，$​
∴​$∠E G H+∠G E H=∠C E F+ ∠GEH=∠CEG=90°，$​
∴​$∠EHG=90°，$​
∴​$AH⊥EF.$​
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