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证明：​$(1)$​∵线段​$DE$​是​$△ ABC$​的中位线​$，$​
∴​$AD=\frac {1}{2}AB，AE=\frac {1}{2}AC.$​
∵线段​$AF $​是​$△ ABC$​的中线​$，$​
∴​$F $​为​$BC$​的中点​$，$​
∴​$EF $​是​$△ ABC$​的中位线​$，$​
∴​$EF// AB，$​且​$EF=\frac {1}{2}AB，$​
∴​$EF = AD，$​
∴四边形​$ADFE$​是平行四边形​$，$​
∴​$AF $​与​$DE$​互相平分​$.$​
​$(2)$​当​$AF=\frac {1}{2}BC$​时​$，$​四边形​$ADFE$​是矩形​$.$​
理由如下​$：$​
由​$(1)$​知​$DE=\frac {1}{2}BC，$​
∴当​$AF=\frac {1}{2}BC$​时​$，AF = DE.$​
又由​$(1)$​知四边形​$ADFE$​是平行四边形​$，$​
∴四边形​$ADFE$​是矩形​$.$​
解：连接​$CM$​
∵​$M、$​​$N$​分别是​$AB、$​​$AC$​的中点，
∴​$NM=\frac {1}{2}CB，$​​$MN// BC$​
又​$CD=\frac {1}{3}BD，$​
∴​$MN = CD，$​又​$MN// BC$​
∴四边形​$DCMN$​是平行四边形，
∴​$DN = CM，$​
∵​$∠ACB = 90°，$​​$M$​是​$AB$​的中点，
∴​$CM=\frac {1}{2}AB = 3，$​
∴​$DN = 3$​

B
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