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解：​$(1)EF $​与​$GH$​互相平分​$.$​
理由：连接​$EG、$​​$GF、$​​$FH、$​​$EH.$​
∵​$E、$​​$F $​分别为​$AD、$​​$BC$​的中点，​$G、$​​$H$​分别为​$BD、$​​$AC$​的中点，
∴​$EG $​是​$△ADB$​的中位线，​$FH$​是​$△ACB$​的中位线​$.$​
∴​$EG=\frac {1}{2}AB，$​​$EG// AB，$​​$FH=\frac {1}{2}AB，$​​$FH// AB.$​
∴​$EG=FH，$​​$EG// FH.$​
∴四边形​$EGFH$​为平行四边形​$.$​
∴​$EF $​与​$GH$​互相平分​$.$​
​$(2)$​由​$(1)$​知四边形​$EGFH$​是平行四边形​$．$​
∵​$G、$​​$F $​分别是​$BD、$​​$BC$​的中点，
∴​$GF $​是​$△BCD$​的中位线，
∴​$GF=\frac {1}{2}CD．$​
∵​$AB=CD，$​​$EG=\frac {1}{2}AB，$​
∴​$EG=GF，$​
∴平行四边形​$EGFH$​是菱形，
∴​$EF⊥GH．$​

证明：​$(1)$​∵​$E$​是​$AB$​的中点，
∴​$AE = BE．$​
∵​$DF = BF，$​
∴​$EF $​是​$△ ABD$​的中位线，
∴​$EF// AD，$​
∴​$CF// AD．$​
又​$AF// CD，$​
∴四边形​$AFCD$​为平行四边形
​$(2)$​由​$(1)$​知，​$EF $​是​$△ ABD$​的中位线，
∴​$AD = 2EF = 2．$​
∵​$BF = 3，$​​$DF = FB，$​
∴​$DF = BF = 3．$​
∵​$AD// CE，$​
∴​$∠ ADF=∠ EFB = 90°，$​
∴​$AF=\sqrt {AD^2+DF^2}=\sqrt {13}．$​
∵四边形​$AFCD$​为平行四边形，
∴​$CD = AF=\sqrt {13}．$​
∵​$DF = BF，$​​$CE⊥ BD，$​
∴​$BC = CD=\sqrt {13}．$​
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