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1或-1
​$ C$​
解：​$(1)$​这个函数的图像过原点。
理由：当$x=0$时，$y=\frac{1}{3}×0^2=0，$因此函数图像过原点。
解：​$(2)$​这个函数的图像经过第一、第二象限。
理由：因为$x^2\geq0，$所以$y=\frac{1}{3}x^2\geq0。$
当$x＞0$时，$y＞0，$对应第一象限；
当$x＜0$时，$y＞0，$对应第二象限，故图像经过第一、第二象限。
解：​$(3)$​图像关于​$y$​轴对称。
理由：当$x=a$时，$y=\frac{1}{3}a^2；$当$x=-a$时，$y=\frac{1}{3}(-a)^2=\frac{1}{3}a^2。$
即对于任意实数$a，$点$(a,\frac{1}{3}a^2)$与$(-a,\frac{1}{3}a^2)$都在函数图像上，
这两个点关于y轴对称，因此函数图像关于y轴对称。
解：​$(4)$​当​$x＞0$​时，​$y$​随​$x$​的增大而增大；当​$x＜0$​时，​$y$​随​$x$​的增大而减小。
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