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$k=0$或$k=-1$
①③
解：​$(1) $​∵二次函数​$y=x^2-2mx+\mathrm {m^2}-1$​的图像经过原点​$(0，0)，$​
∴​$0=0^2-2m×0+\mathrm {m^2}-1，$​
即​$\mathrm {m^2}-1=0，$​
解得​$m=\pm 1。$​
​$ $​当​$m=1$​时，二次函数表达式为​$y=x^2-2x；$​
​$ $​当​$m=-1$​时，二次函数表达式为​$y=x^2+2x。$​
综上，二次函数的表达式为​$y=x^2-2x$​或​$y=x^2+2x。$​
​$ (2) $​当​$m=2$​时，​$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1，$​
∴顶点​$D$​的坐标为​$(2，-1)；$​
​$ $​当​$x=0$​时，​$y=0^2-4×0+3=3，$​
∴点​$C$​的坐标为​$(0，3)。$​
​$ (3) $​存在。
​$ $​连接​$CD，$​与​$x$​轴的交点即为点​$P，$​此时​$PC+PD$​最短。
​$ $​设直线​$CD$​的函数表达式为​$y=kx+b，$​
将​$C(0，3)、$​​$D(2，-1)$​代入得​$ \begin {cases}b=3\\2k+b=-1\end {cases}，$​
解得​$\begin {cases}k=-2\\b =3\end {cases}，$​
∴直线​$CD$​的表达式为​$y=-2x+3。$​
​$ $​当​$y=0$​时，​$0=-2x+3，$​解得​$x=\frac {3}{2}，$​
∴点​$P $​的坐标为​$(\frac {3}{2}，0)。$​
$y=-\sqrt{3}x^2+2\sqrt{3}x$
$y=\sqrt{3}x^2+2\sqrt{3}x$
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