第107页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

解：原式$=\frac 1{3\sqrt {3}}$

$=\frac {\sqrt {3}}9$

解：原式$=\frac {3\sqrt {5}}5$

解：原式$=\sqrt {\frac 56}$

$=\frac {\sqrt {30}}6$

解：原式$=\frac {\sqrt {6}}2$

解：原式$=\frac {\sqrt {5}}{30}$

解：原式$=y\sqrt {2x}$

解：原式$=-\sqrt {y}$

解：由图可知：

$AC=\sqrt {2²+2²}=2\sqrt {2}$

$AB=\sqrt {2²+3²}=\sqrt {13}$

$BC=\sqrt {1²+4²}=\sqrt {17}$

$S{△ABC}=3×4-\frac {1}{2}×2×2-\frac {1}{2}×2×3-\frac {1}{2}×1×4=5$

$S{△ABC}=\frac {1}{2}AB·h=5$

∴$AB$边上的高$h=5÷\frac {1}{2}÷AB=10÷\sqrt {13}=\frac {10\sqrt {13}}{13}$

（1）解方程：$\sqrt{5}-2\sqrt{10}x=-2\sqrt{2}$

 移项得：$-2\sqrt{10}x=-2\sqrt{2}-\sqrt{5}$

 系数化为1得：$x=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}{2\sqrt{10}}$

 分母有理化：$x=\frac{(2\sqrt{2}+\sqrt{5})\sqrt{10}}{2\times10}=\frac{2\sqrt{20}+\sqrt{50}}{20}=\frac{4\sqrt{5}+5\sqrt{2}}{20}$

 （2）解不等式：$\sqrt{3}-2\sqrt{6}x＜-2\sqrt{2}$

 移项得：$-2\sqrt{6}x＜-2\sqrt{2}-\sqrt{3}$

 系数化为1（不等号方向改变）得：$x＞\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}$

 分母有理化：$x＞\frac{(2\sqrt{2}+\sqrt{3})\sqrt{6}}{2\times6}=\frac{2\sqrt{12}+\sqrt{18}}{12}=\frac{4\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{12}$

【分析】
要将二次根式化为最简二次根式，需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们可以按以下思路处理每个小题：
(1) 对于$\sqrt{\dfrac{1}{27}}$，先将被开方数的分母转化为含完全平方数的形式，再进行分母有理化，同时开尽能开方的因数；
(2) 对于$\sqrt{1\dfrac{4}{5}}$，先把带分数化为假分数，再对假分数形式的被开方数进行分母有理化；
(3) 对于$\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}}$，先计算括号内的分数加法，得到最简分数后，再通过分母有理化化为最简二次根式。
【解析】
(1) $\sqrt{\dfrac{1}{27}} = \sqrt{\dfrac{3}{27×3}} = \sqrt{\dfrac{3}{81}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{81}} = \dfrac{\sqrt{3}}{9}$；
(2) $\sqrt{1\dfrac{4}{5}} = \sqrt{\dfrac{9}{5}} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}} = \dfrac{3}{\sqrt{5}} = \dfrac{3×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}} = \dfrac{3\sqrt{5}}{5}$；
(3) $\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}} = \sqrt{\dfrac{3 + 2}{6}} = \sqrt{\dfrac{5}{6}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{5}×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{30}}{6}$。
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{3}}{9}$；(2) $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$；(3) $\dfrac{\sqrt{30}}{6}$
【知识点】
最简二次根式化简，分母有理化，分数加减运算
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，核心是紧扣最简二次根式的判定条件，通过分数运算、分母有理化等步骤逐步转化，熟练掌握这类化简方法是后续二次根式混合运算的前提。
【难度系数】
0.6

【解析】

(1) 分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{6}$：

$\dfrac{3}{\sqrt{6}}=\dfrac{3×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\dfrac{3\sqrt{6}}{6}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

(2) 先化简$\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，再分母有理化：

$\dfrac{\sqrt{2}}{3\sqrt{40}}=\dfrac{\sqrt{2}}{3×2\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{2}×\sqrt{10}}{6\sqrt{10}×\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{20}}{60}=\dfrac{2\sqrt{5}}{60}=\dfrac{\sqrt{5}}{30}$

(3) 分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2x}$（$x＞0$）：

$\dfrac{2xy}{\sqrt{2x}}=\dfrac{2xy×\sqrt{2x}}{\sqrt{2x}×\sqrt{2x}}=\dfrac{2xy\sqrt{2x}}{2x}=y\sqrt{2x}$

(4) 先化简分子，再约分计算（$y＞0$）：

$\dfrac{-\sqrt{45y^2}}{3\sqrt{5y}}=\dfrac{-3y\sqrt{5}}{3\sqrt{5y}}=\dfrac{-y}{\sqrt{y}}=-\sqrt{y}$

【答案】

(1) $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$；(2) $\dfrac{\sqrt{5}}{30}$；(3) $y\sqrt{2x}$；(4) $-\sqrt{y}$

【知识点】

最简二次根式，分母有理化，二次根式的性质

【点评】

本题是二次根式化简的基础运算题，主要考查分母有理化的方法和二次根式性质的应用，计算时需注意根号内字母的隐含取值范围，熟练掌握运算规则即可快速求解。

【难度系数】

0.8

【分析】
要计算AB边上的高，可按以下思路推导：
1. 先通过割补法求出△ABC的面积：用包围△ABC的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积；
2. 再利用勾股定理计算AB的长度：AB是直角边为3和2的直角三角形的斜边，代入勾股定理即可求解；
3. 最后根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2} × 底 × 高$，将面积和AB的长度代入，变形求出AB边上的高。
【解析】
1. 计算$\boldsymbol{△ ABC}$的面积
以△ABC的三个顶点为边界作最小矩形，矩形的长为3，宽为4，面积为$3 × 4 = 12$。
减去周围三个直角三角形的面积：
直角三角形1的面积：$\frac{1}{2} × 1 × 2 = 1$
直角三角形2的面积：$\frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$
直角三角形3的面积：$\frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$
因此，$S_{△ ABC} = 12 - 1 - 3 - 3 = 5$。
2. 计算$\boldsymbol{AB}$的长度
由勾股定理，AB的水平距离为3，垂直距离为2，可得：
$AB = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$
3. 求AB边上的高$\boldsymbol{h}$
根据三角形面积公式$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × h$，将$S_{△ ABC}=5$，$AB=\sqrt{13}$代入：
$5 = \frac{1}{2} × \sqrt{13} × h$
解得：
$h = \frac{2 × 5}{\sqrt{13}} = \frac{10}{\sqrt{13}} = \frac{10\sqrt{13}}{13}$（分母有理化）
【答案】
$\frac{10\sqrt{13}}{13}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 三角形面积公式
3. 割补法求面积
【点评】
本题综合考查了勾股定理与三角形面积公式的应用，割补法是格点三角形面积计算的常用技巧，通过面积公式逆用求解高，体现了转化思想，需注意分母有理化的规范运算。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 解方程时，遵循一元一次方程的常规步骤：先移项，把含未知数的项留在左边，常数项移到等式右边；再将未知数的系数化为1，对含二次根式的分式进行分母有理化，化简后得到方程的解。
(2) 解不等式时，步骤与解方程类似，先移项，再将系数化为1，注意当系数为负数时，不等号的方向要改变，最后通过分母有理化化简得到不等式的解集。
【解析】
(1) 解方程：$\sqrt{5} - 2\sqrt{10}x = -2\sqrt{2}$
移项，得：
$-2\sqrt{10}x = -2\sqrt{2} - \sqrt{5}$
两边同时除以$-2\sqrt{10}$，得：
$x = \frac{-2\sqrt{2} - \sqrt{5}}{-2\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{5}}{2\sqrt{10}}$
对分式进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{10}$：
$x = \frac{(2\sqrt{2} + \sqrt{5}) × \sqrt{10}}{2\sqrt{10} × \sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{20} + \sqrt{50}}{2 × 10} = \frac{4\sqrt{5} + 5\sqrt{2}}{20}$
化简得：
$x = \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{4}$
(2) 解不等式：$\sqrt{3} - 2\sqrt{6}x ＜ -2\sqrt{2}$
移项，得：
$-2\sqrt{6}x ＜ -2\sqrt{2} - \sqrt{3}$
两边同时除以$-2\sqrt{6}$（不等号方向改变），得：
$x ＞ \frac{-2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{-2\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2\sqrt{6}}$
对分式进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{6}$：
$x ＞ \frac{(2\sqrt{2} + \sqrt{3}) × \sqrt{6}}{2\sqrt{6} × \sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{12} + \sqrt{18}}{2 × 6} = \frac{4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{12}$
化简得：
$x ＞ \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{4}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{x = \frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{4}}$；(2) $\boldsymbol{x ＞ \frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}}$
【知识点】
一元一次方程解法，一元一次不等式解法，二次根式分母有理化
【点评】
本题将一元一次方程、不等式的基础解法与二次根式的运算结合，核心是掌握方程与不等式的基本求解步骤，以及二次根式分母有理化的方法，解不等式时需特别注意系数为负数时不等号方向的变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.6